Bài tập C1: Hàm số và giới hạn - Toán cao cấp FTU

Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 1. Hãy điền thuật ngữ thích hợp vào chỗ dấu ba chấm trong các câu dưới đây: a) Hàm số biểu diễn lượng cung của nhà sản xuất tùy theo giá sản phẩm, khi các yếu tố khác không thay đổi, được gọi là … b) Hàm số biểu diễn lượng cầu của người tiêu dùng tùy theo giá sản phẩm, khi các yếu tố khác không thay đổi, được gọi là … c) Hàm số biểu diễn tổng chi phí của nhà sản xuất tương ứng với mỗi mức sản lượng đầu ra được gọi là … d) Hàm số biểu diễn tổng doanh thu của nhà sản xuất tương ứng với mỗi mức sản lượng đầu ra được gọi là … e) Hàm số biểu diễn lượng sản phẩm đầu ra của nhà sản xuất tùy theo lượng sử dụng lao động, khi các yếu tố khác không thay đổi, được goi là … f) Hàm số biểu diễn lượng ảnh hưởng của thu nhập đối với lượng tiêu dùng được gọi là … 2. Cho biết hàm cung và hàm cầu của thị trường một hàng hóa như sau: Qs = 4p – 1; Qd = 159 – 2p2. a) Hãy so sánh lượng cung với lượng cầu ở các mức giá p=7, p=8,1. b) Xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của thị trường. 3. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau: Q = 100 3 L2 trong đó L là lượng sử dụng lao động và Q là lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần. a) Hãy cho biết lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần khi doanh nghiệp sử dụng 64 đơn vị lao động mỗi tuần và giữ nguyên mức sử dụng các yếu tố đầu vào khác b) Tại mức sử dụng 64 đơn vị lao động mỗi tuần, nếu doanh nghiệp thêm 1 đơn vị lao động mỗi tuần thì sản lượng 4. Một nhà sản xuất có hàm chi phí như sau: TC = Q3 − 5Q2 + 20Q + 9 a) Hãy tính tổng chi phí sản xuất tại các mức sản lượng Q = 1, Q = 2 và Q = 10 b) Cho biết chi phí cố định và hàm chi phí khả biến 5. Với hàm chi phí cho ở bài tập 4, hãy lập hàm lợi nhuận của nhà sản xuất trong các trường hợp sau: a) Nhà sản xuất hoạt động trong môi trường cạnh tranh và giá thị trường của sản phẩm là p=28. b) Nhà sản xuất hoạt động trong môi trường độc quyền và lượng cầu đối với sản phẩm ở mỗi mức giá p là : Q = 190 − 0,5 p . 2n 6. Hãy chứng minh rằng dãy số xn = hội tụ đến 2 bằng cách chỉ ra số tự nhiên n0 tương ứng n+2 với mỗi số 0 sao cho: xn − 2 , n n0 7. Sử dụng định nghĩa, hãy chứng minh: n 1 a) lim = n →+ 3n + 2 3 n =0 n→+ 5n + 1 b) lim 2 8. Trong điều kiện lãi suất 0,9% một tháng, hãy cho biết: a) Giá trị tương lai của 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm; b) Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được sau 4 năm 9. Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu $6000 và sẽ đem lại $10000 sau 5 năm. Trong điều kiện lãi suất tiền gửi ngân hàng là 9% một năm có nên đầu tư vào dự án đó hay không? Tính NPV của dự án đó. sonlam Page 1 10. Một công ty đề nghị bạn góp vốn $3500 và đảm bảo sẽ trả bạn $750 mỗi năm liên tiếp trong 7 năm. Bạn có chấp nhận góp vốn hay không nếu bạn còn cơ hội đầu tư tiền vào chỗ khác với lãi suất 9% một năm. 11. Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu là 40 triệu đồng và sẽ đem lại 10 triệu sau 1 năm, 20 triệu sau 2 năm, 30 triệu sau 3 năm. Dự án có lợi về mặt kinh tế hay không nếu lãi suất hiện hành là 10%. 12. Mỗi tháng gửi vào ngân hàng số tiền 2 triệu, đều đặn trong 5 năm, sau đó rút cả gốc và lãi. Lãi suất 2 năm đầu 6%/năm, lãi suất 3 năm sau giảm còn 5%/năm. Tính số tiền thu về cả gốc và lãi. 13. Một dự án nhà chung cư có chính sách bán căn hộ với 2 phương án lựa chọn thanh toán. PA1 là thanh toán 5 lần mỗi lần 200 triệu, cách nhau 6 tháng. Lần 1 ngay khi ký hợp đồng, lần cuối khi nhận nhà. PA2 là trả hết tiền ngay khi ký hợp đồng số tiền 920 triệu. Giả sử lãi suất 12%/năm. a. Phương án nào có lợi hơn cho khách hàng? b. Nếu nhận nhà bán được ngay với giá tối thiểu 1,2 tỷ thì có nên đầu tư không? 14. Mỗi tháng gửi vào ngân hàng số tiền 1 triệu thì bao nhiêu lâu sau sẽ nhận về số tiền cả gốc và lãi là 1 tỷ đồng? a. Giả sử lãi suất 12%/năm. b. Giả sử lãi suất 2 năm đầu là 12%/năm và năm cuối là 10%/năm. 15. Mỗi tháng gửi vào ngân hàng số tiền bao nhiêu thì sau 3 năm sẽ nhận về số tiền cả gốc và lãi là 100 triệu đồng? Giả sử lãi suất 12%/năm. 16. Sử dụng định nghĩa, hãy tính các giới hạn sau: lim(3𝑥 2 − 2𝑥 + 1) 𝑥3 𝑥→1 lim 𝑥→−2 𝑥 + 1 17. Chứng minh rằng các hàm số sin x, cos x, tan x, cotx không có giới hạn khi x → 18. Tính các giới hạn sau a) lim x →−3 3x3 + 5 x + 1 b) lim 3 x →+ 2 x + x 2 − 9 x 2 + 3x + 1 − 5 x 2x + 1 1 5x2 + x + 1 x c) lim 2 x →+ 4 x − x + 1 19. Tính các giới hạn sau d) lim( x − 2)cos x →2 x3 + 8 a) lim 2 x →−2 x − 3 x − 10 c) lim x → 3 b) lim x →0 ( x + 4x −1 − x + x − 5 ) 2 x x − 5x + 6 2 2x + 1 −1 x +1 −1 2 x + x2 + xm − m (m và n là các số nguyên dương) x →1 x + x 2 + xn − n sin u 20. Tính các giới hạn sau bằng cách sử dụng công thức lim =1 u →0 u d) lim tan 3x sin x b) lim 3 x →0 tan 2 x x→1 x − 1 cos x − cos3x sin 5 x − sin 3x c) lim d) lim 2 x→0 x →0 sin x x 21. Chứng minh quy tắc sau đây đối với giới hạn dạng 1 : Nếu lim u (x ) = 1 , lim v( x) = và a) lim x →a x →a lim v( x) u( x) − 1 = k thì lim u ( x)v( x) = ek x→a x→a sonlam Page 2 22.Tính các giới hạn sau bằng cách sử đụng quy tắc ở bài tập 35: 3x 2 − x + 1 b) lim 2 x →+ 3 x + x + 1 2 a) lim (cos x)1 x x→0 cot 2 x 2 c) lim 1 + x x→0 23. Tính các giới hạn: ( a) lim ) log a (1 + x ) x →0 d) lim(1 + sin x) cot ( x ) x →1 (a 0 và a 1 ) b) lim x→a x a −1 (a 0 và a 1 ) c) lim x →0 x ln x − ln a ( a 0) x−a (1 + x ) − 1 a 0 d) lim ( ) x →0 a x x 24. Tính các giới hạn sau: tg 3( x −1) cos x − 3 cos x sin 2 x a) lim x →0 b) c) lim x ln( x + 1) − ln x d) x →+ ( e) lim sin x + 1 − sin x x →+ g) lim ( sin x + cos x ) ) f) cot gx h) x →0 x + 9 x −1 lim x →1 2 x + 3 log 2 lim x →1 x − 1 arcsin (1 − 2 x ) lim x →1/2 4x2 −1 ln ( cos 3x ) lim x →0 ln ( cos 5 x ) 25. Chứng minh rằng nếu lim f(x) = và lim g(x) = k 0 ( k x →a x →a 26. Chứng minh rằng khi x → 0 : a) 1 − cos ax = 0 ( sin x ) . f(x)g(x) = ) thì lim x →a c) sin ax + sin 2 bx ax ( a 0 ) . a x x2 ( a 0) 2 d) a x − 1 x ln a (1 a 0 ) e) ln (1 + ax ) ax ( a 0 ) . f) b) 1 − cos ax (1 + kx ) − 1 k x ( k 0) g) ax + a1 x +1 + ... + an x + n ax ( 0, a 0 ) 27. Bằng cách thay VCB tương đương, hayx tính các gió hạn sau: 1 − cos 3 x x →0 2 x 2 + 3 x 3 − x 4 b) lim ln(1 + 4 x 2 − 5 x3 ) x →0 ln(1 + 2 x 2 + 3 x 3 ) (1 + 3x)2 − 1 d) lim x →0 sinx + 2sin 2 x a) lim c) lim 5x − 1 x →0 4 x + 3sin 2 x + cos x − 1 5 28. Xét tính liên tục của hàm số sau: 𝑥 2 −5𝑥+6 a) f(x) = { 𝑥−3 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 3 1 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 3 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 2 2𝑥 −4 b) f(x) = { 𝑥−2 1 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 2 sonlam Page 3 c) f(x) = { cos 𝜋𝑥 2 𝑘ℎ𝑖 |𝑥| ≤ 1 |𝑥 − 1|𝑘ℎ𝑖 |𝑥| > 1 29. Tìm k để hàm số sau liên tục trong khoảng (-1;1) ln(1 + x) − ln(1 − x) khi 0 x 1 f ( x) = x k , khix = 0 30. Có thể nói gì về giá trị của hàm số f(x) + g(x) tại điểm x0 trong các trường hợp sau: f(x) liên tục tại x0 nhưng g(x) gián đoạn tại điểm đó. Cả hai hàm số f(x) và g(x) đều gián đoạn tại. 31. Tìm k để hàm số sau liên tục trên khoảng ( −1,1) ln(1 + x) − ln(1 − x) khi 0< x 1 x f ( x) = k khi x=0 32. Có thể nói gì về tính liên tục của hàm số f ( x) + g ( x) tại điểm xo trong các trường hợp sau a. f ( x) liên tục tại x0 nhưng g ( x) gián đoạn tại điểm đó. b.Cả hai hàm số f ( x) và g ( x) đều gián đoạn tại xo 33.Chứng mình các phương trình sau có nghiệm a) 3x = sin x b) 2x = x 2 + x + 3 34. Chứng minh phương trình x6 − 9 x − 8 = 0 có ít nhất 2 nghiệm thực. 35. Chứng minh rằng phương trình x5 + x 2 − 8x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm thực. sonlam Page 4