Bài tập C2: Đạo hàm và vi phân - Toán cao cấp FTU

Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1. Sử dụng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số f ( x) = 2 x + 1 tại điểm x = 4 2. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 1 x2 − 5x + 4 khi x 1 f ( x) = x − 1 −3 khi x=1 3. Sử dụng định nghĩa, hãy lập hàm số đạo hàm của các hàm số: a) f ( x) = cos x b) f ( x) = ln( x) 4. Hãy chứng minh: a) Đạo hàm của một hàm số chẵn là một hàm số lẻ. b)Đạo hàm của một hàm số kẻ là một hàm số chẵn. c) Đạo hàm của một hàm số tuần hoàn với chu kì T là một hàm số tuần hoàn với chu kì T. 10. Tính đạo hàm của hàm số y = x + x − 2 . 11. Chứng minh rằng hàm số x 2 sin y ={ 0 1 𝑘ℎ𝑖 x x 𝑘ℎ𝑖 x = 0 có đạo hàm tại mọi điểm x và tính đạo hàm f '( x) . 12. Cho hàm số: f ( x) = { 𝑘ℎ𝑖 x 2ax + b 𝑘ℎ𝑖 x 1 x2 Hãy xác định a và b để hàm số liên tục và có đạo hàm tại điểm x = 1 . 23. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số: 2x+3 x +1 24. Chứng minh rằng hàm số y = sin ( ln x ) + cos ( ln x ) thỏa mãn hệ thức: a) y = e b) y = kx x y '''+ xy '+ y = 0 2 25. Chứng minh rằng hàm số y = sin ( n.arcsin x ) thỏa mãn hệ thức: (1 − x ) y − xy + n y = 0 2 2 26. Chứng minh rằng hàm số y = ex + 2e 2x thỏa mãn hệ thức: y '''− 6 y ''+ 11 y '− 6 y = 0 ( 27. Lập biểu thức vi phân cấp 2 của hàm số y = ln x + x 2 + 4 ) 28. Lập biểu thức vi phân cấp 3 của hàm số y = arctg x 32. Khai triển đa thức f (x ) = x 5 + x 3 − 3x 2 + 1 theo lũy từa của x − 1 sonlam Page 5 1 theo công thức Maclaurin đến x 2 , với phần dư dạng lagrange. 1+ x 34. Khai triển hàm số f (x ) = 3 x theo công thức Taylor đến lũy thừa bậc 5 của x − 1 , với phần dư dạng Peano. 35. Khai triển hàm số f (x ) = e sin x theo công thức Maclaurin đến lũy thừa bậc 3 của x, với phần dư dạng Peano. 36. Tính các giới hạn sau: 1 − cosax eax − e −ax lim a) lim b) x →0 x sin x x →0 ln(1 + x ) π − 2arctgx ln x lim lim c) x →+ ln(1 + 1 ) d) x →0+ ln(sin x ) x ln(1 − x ) xm lim (a 1, m N ) e) xlim f) →1− cot g πx x →+ a x 37. Tính các giới hạn sau: 1 π cot gx − lim x tan x − a) lim b) x →0 x →π / 2 x 2cos x lim ln x .ln(1 − x ) π x →1− lim tg 2 x . tg − x c) d) π x→ 4 4 33. Khai triển hàm số f (x ) = 38. Tính các giới hạn sau: 1 a) c) lim ln(e + x ) x x →0 tgx lim x →0 x 1 x2 b) lim(1 − x ) cos πx 2 x →1− 1 ex + x )x d) lim( x →0 1 2 lim ( arctan x )x x →+ π x →+ 39. Xác định các khoảng tăng, giảm của các hàm số: b) y = x + sin x a) y = 2x 2 − ln x e) c) e) g) lim (2x + x ) x y = x (x − 1)2 (x − 2)3 2 y = x 2 . 3 6x − 7 3 y = x ln 2 x f) ex x y = x − ln(1 + x ) d) y = f) h) y = x 2e −x 40. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: a) f ( x ) = 3x − x3 , x −2;3 1 b) f ( x ) = x + , x 0,01;100 x c) y = x 2 ln x, x 1; e d ) y = x 1 − x 2 , x −1;1 sonlam Page 6 42. Chứng minh rằng nếu hàm số f ( x) liên tục trong khoảng (a;b) và trong khoảng đó nó chỉ có một điểm cực trị duy nhất x0 thì điểm cực trị địa phương x0 đồng thời là điểm cực trị toàn cục của nó, tức là f ( x0 ) là GTLN (GTNN) của f ( x) trong toàn bộ khoảng (a;b) nếu x0 là điểm cực đại (cực tiểu) 43. Chọn x để hàm số y = 4 9 đạt giá trị nhỏ nhất trong khoảng (0;1). + x 1− x 44. Xác định các khoảng lồi lõm và điểm uốn của hàm số: a ) y = x 4 − 12 x 3 + 48 x 2 + 50 b) y = ln(1 + x 2 ) 45. Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn Q = 15. 3 L . Hãy tính MPPL khi L = 8 và khi L = 1000 và giải thích ý nghĩa kết quả tìm được. 46. Lập hàm chi phí cận biên và hàm chi phí bình quân, cho biết hàm chi phí: a )TC = 3Q 2 + 7Q + 12 b)TC = 2Q 3 − 3Q 2 + 4Q + 10 47. Cho biết hàm doanh thu: TC = 200Q − 3Q 2 Hãy lập hàm doanh thu cận biên và hàm cầu với sản phẩm. 48. Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất độc quyền, với giá p tính bằng USD: Q = 500 − 0,2 p . Hãy tính MR tại mức sản lượng Q = 90 và giải thích ý nghĩa. 49. Cho biết hàm cầu đối với một lượng hàng hóa như sau: Q = 3200 − 0,5 p 2 a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá ở mức giá p 80 b) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại các mức giá p = 20, p = 50 và giải thích ý nghĩa. 50. Cho hàm cầu tuyến tính: Q = a − bp (a ,b 0) Gọi ε là hệ số co dãn của cầu theo giá. Hãy chứng minh rằng ε = −1 khi p = a a a a , ε −1 khi 0 p , −1 ε 0 khi p . 2b 2b 2b b 51. Cho biết tổng doanh thu củ một nhà sản xuất độc quyền tại mỗi mức sản lượng Q là TR = 500Q − 4Q 2 . Hãy tính hệ số co dãn theo giá của cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất đó tại mức giá p = 300 và giải thích ý nghĩa. 52. Tính hệ số co dãn của cung theo giá tại mỗi mức giá p trong trường hợp hàm cung tuyến tính: Q = a + bp (a ,b 0) . 53. Cho biết hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau: π = −1 3 Q + 14Q 2 + 60Q − 54 . 3 sonlam Page 7 Hãy chọn mức sản lượng tối ưu (cho lợi nhuận đố tối đa). 54. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất, cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí như sau: a) TR = 4000Q − 33Q 2 , TC = 2Q 3 − 3Q 2 = 400Q = 5000 . b) TR = 4350Q − 13Q 2 ,TC = Q 3 − 5,5Q 2 + 150Q + 675 . 55. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất, cho biết hàm doanh thu cận biên và hàm chi phí cận biên như sau: MR = 5900 − 20Q ; MC = 6Q 2 − 8Q + 140 56. Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu ngược p = 1400 − 7,5Q a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá ở mỗi mức giá p; b) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa, cho biết hàm chi phí cận biên MC = 3Q 2 − 12Q + 140 . 57. Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm trên thị trường cạnh tranh với giá $20. Cho biết hàm sản xuất Q = 3 L2 và giá thuê lao động là $40. Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa. 58. Một nhà sản xuất độc quyền tiêu thụ sản phẩm trên thị trường có hàm cầu D ( p ) = 750 − p . Cho biết hàm sản xuất Q = 6 L và giá thuê lao động là $14. Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa. sonlam Page 8