Bài tập C3: Hàm số có nhiều biến số - Toán cao cấp FTU

Chương 3: HÀM SỐ CÓ NHIỀU BIẾN SỐ 1. Cho hàm số: f ( x , y ) = x 3 + 2y 3 + 2xy 2 Hãy tính các giá trị f(0,1), f(1,2), f(a,b), f(b,a), f(a,2a). x2 + y 2 3. Hãy viết phương trình đường mức đi qua điểm A ( 0,1) của hàm số: u = 2x + 6 y 4. Hãy viết mặt phẳng mức đi qua điểm A (1,1,1) của hàm số: u = x + y + z 5. Lập hàm hợp của các hàm số sau: w = u 2 + v 2 , u = sinx + siny+ sinz , v = cosx + cosy + cosz 6. Tìm biểu thức hàm số f ( x, y ) , cho biết: f ( x + y, x − y ) = x 2 + xy + 2 y 2 7. Một công ty cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất Q = 3 K . L với K, Q, L được tính hằng ngày. a) Hãy viết phương trình đồng lượng ứng với mức sản lượng Q=200 b) Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận hàng này của công ty theo K và L, cho biết giá sản phẩm trên thị trường là $4, giá tư bản là$15, giá lao động là $8 và mỗi ngày công ty phải trả $50 chi phí khác. 1 3 5 6 8. Một nhà sản xuất độc quyền có hàm sản xuất Q = 40 K L và tiêu thị sản phẩm trên thị trường có hàm cầu D ( p ) = 350 − 3 p . Hẫy lập hàm số biểu diễn tổng doanh thu theo K và L. 9. Một công ty độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp (Q là lượng sản phẩm i): TC = 3Q12 − 2Q1Q2 + 4Q22 a) Lượng chi phí mà công ty phải bỏ ra để sản xuất 4 đơn vị sản phẩm 1 và 2 đơn vị sản phẩ 2 là bao nhiêu? b) Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm 1 là D1 ( p1 ) = 320 − 5 p1 , hàm cầu đối với sản phẩm 2 là D2 ( p2 ) = 150 − 2 p2 . Hãy lập hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của cong ty theo Q1 , Q2 . 10. Giả sử người tiêu dung có hàm lợi ích như sau: U = xy + 4 y , trong đó x là lượng hàng hóa A, y là lượng hàng hóa B. a) Viết phương trình dường bàng quang, cho biết một trong những túi hàng thuộc đường bang quang đó là ( x = 4, y = 3) . b) Hãy cho biết hai túi hàng ( x = 4, y = 3) và ( x = 5, y = 2 ) , túi nào được ưa chuộng hơn? c) Giả sử người tiêu dung đang có 8 hàng hóa A, 3 hàng háo B và có người đè nghị đổi cho chị ta một số hàng hóa A để lấy hàng hóa B. Hỏi người đó dổi ít nhất bao nhiêu hàng hóa A thì chị ta mới bằng lòng đổi? 11. Tìm giới hạn của các dãy điểm: 3 2n − 1 n n +1 a) M n , n sin n 1 − 3n2 b) M n , , 2 n +1 n n + n +1 14. Sử dụng định nghĩa, hãy tính giới hạn: 2 x3 y 2 + x + 3 y lim x →2 3x + 2 y y →−1 sonlam Page 9 15. Chứng minh rằng hàm số 2 x2 y 2 3xy f x, y không có giới hạn khi x 0, y x y , khi x 2 3x 4y 0, khi x y 0 16. Cho hàm số: f x ,y Hãy tính giới hạn: lim f x, y x 0 y 0. y2 0 0 x 2y 2 1 1 lim x + y sin sin 17. Tính a. lim b. ( ) 2 2 2 x →0 x →0 x y y →0 y →0 x y + ( x − y ) 18. Xét tính liên tục của hàm số f(x,y) tại điểm (0,0 ): 𝑥2 𝑦2 a. 𝑓 (𝑥, 𝑦) = {𝑥2 +𝑦2 0 𝑥𝑦 b. 𝑓 (𝑥, 𝑦) = {𝑥2 +𝑦 0 19. Cho hàm số: 𝑘ℎ𝑖 𝑥 2 + 𝑦 2 ≠ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 𝑦 = 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 2 + 𝑦 2 ≠ 0 2 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 𝑦 = 0 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 3𝑦 2 𝑘ℎ𝑖 𝑥 2 + 𝑦 2 > 0 𝑓 (𝑥, 𝑦) = { 𝑥+𝑦 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 𝑦 = 0 Hãy tính f x' ( 0,0 ) , f y' ( 0,0 ) . 20. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: a) u = x 2 y − y 2 x x y c) u = + y x 21. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: a) u = xy + yz + zx b) u = ( 5 x 2 y − y 2 + 7 ) 3 d) u = e − x y b) u = x 3 + yz 2 + 3 xy − x + z d) u = e x ( x + y + z ) c) u = x 2 + y 2 + z 2 22.Tính các đạo hàm riêng cấp 2 và lập biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số: 2 b) u = ln ( x + y ) a) u = x 4 + y4 − 4x 2 y2 2 c) u = 2x − 3y x + 2y d) u = arctan 2 2 y x 23.Cho hàm số: sonlam Page 10 xy ( x 2 − y 2 ) khi x 2 + y 2 #0 2 2 f ( x, y ) = x + y 0 khi x = y = 0 Hãy tính f xy'' ( 0,0 ) , f yx'' ( 0,0 ) . 24. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau: Q = 12 3 K 2 . L . a. Hãy tính MPPK và MPPL tại điểm (K = 125, L=100) và giải thích ý nghĩa b. Chứng tỏ rằng MPPK giảm khi K tăng và L không đổi c. Chứng tỏ rằng MPPL giảm khi L tăng và K không đổi 25. Cho biết hàm lợi ích của người tiêu dùng U = x 0,4y 0,7 , trong đó x là lượng hàng hóa A và y là lượng hàng hóa B a. Hãy lập các hàm số biểu diễn lợi ích cận biên của mỗi hàng hóa. Hàm lợi ích này có phù hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không? b. Nếu lượng hàng hóa A tăng 1% và lượng hàng hóa B không đổi thì lợi ích cận biên tăng bao nhiêu %? 26. Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp như sau: TC = 45 + 125Q1 + 84Q2 − 6Q12Q22 + 0,8Q13 + 1,2Q23 Hãy lập các hàm số biểu diễn chi phí cận biên của mỗi sản phẩm 27. Cho biết hàm cầu đối với 1 mặt hàng như sau: Q = 35 − 0,4p + 0,15m + 0,12ps Trong đó Q, p là lượng cầu và giá của hàng hóa đó; m là thu nhập; ps là giá cả hàng hóa thay thế. Hãy lập hàm số biểu diễn: a. Hệ số co dãn của cầu theo giá p b. Hệ số co dãn của cầu theo thu nhập c. Hệ số co dãn của cầu theo giá hàng hóa thay thế 28. Hãy chứng tỏ các hàm số sau là hàm thuần nhất và cho biết bậc thuần nhất của chúng: a. f ( x , y ) = 3 2x + 3y b. f ( x , y ) = 2x y + 3y x c. f ( x , y , z ) = x 3 + x 2y + y 2z + z 3 29. Hãy kiểm tra công thức Ơle đối với các hàm thuẩn nhất sau: a. u = 2x 2 + 3xy − 5y 2 b. u = x x 2 + y2 + z 2 30. Chứng minh rằng nếu hàm khả vi f(x,y) là hàm thuần nhất bậc s thì các hàm số fx' ( x , y ) và fy' ( x , y ) là hàm thuần nhất bậc s-1. 31. Hãy đánh giá hiệu quả của quy mô qua các hàm sản xuất a. Q = 20K 0,4L0,3 b. Q = 5K 0,6L0,8 c. Q = 12 K 3 L2 32. Hãy tính đạo hàm y ' ( x ) của hàm số y = y(x) cho dưới dạng hàm ẩn: sonlam Page 11 b. (x 2 + y 2 )2 − a 2 (x 2 − y 2 ) = 0 a. x 3y − y 3x = a 4 c. xey + yex − exy = 0 arctg y d. x 2 + y 2 = ae x (a > 0) 33. Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số y= y(x) xác định bởi phương trình: a. y 2 = 2px b. x 2 − xy + y 2 = 0 c. x 2 + 2ln y = x 4 d. x 2y 2 − x 4 − y 4 = a 4 34. Tính đạo hàm riêng của hàm số z = z(x, y) xác định bởi phương trình: b. x 2 − 2y 2 + z 2 − 4x + 2z − 5 = 0 x 2 y2 z 2 a. 2 + 2 + 2 = 1 a b c c. x 3 + 3xyz = a 3 d. ez − xyz = 0 35.Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm ẩn z = z(x, y) , xác định bởi phương trình: a) x 2 + y 2 + z 2 = a 2 b) x + y + z = ez 36. Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi phương trình: x 2 + 2y 2 + 3z 2 + xy − z − 9 = 0 Hãy tính z xx'' , z xy'' , z yy'' khi x = 1, y = -2, z = 1. 37. Lập các biểu thức dz, d2z của hàm số z = z(x, y) xác định bởi phương trình: xyz = x + y + z sonlam Page 12