Bài tập C4: Cực trị hàm nhiều biến - Toán cao cấp FTU

CHƯƠNG 4: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số: a) u = 10x 2 + y 2 − 6xy − 24x b) u = 4xy − x 2 − 7y 2 + 36y c) u = 13x 2 + y 2 − 5xy − 2x − 10y + 1 d) u = x 3 + 3xy 2 − 15x − 12y e) u = 18xy − 8x 3 − 27y 3 2. Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau với x>0, y>0: a) u = x 2y 2 (6 − x − y ) b) u = xy + 50 20 + x y 3. Tìm các điểm cực trị của các hàm số: a) u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 − 2xy − 10y − 12z b) u = 6xz − 3x 2 − 2y 2 − 9z 2 + 8x + 12y c) u = x 2 + 5y 2 + 10z 2 − 4xy − 6yz − 10z + 1 d) u = 3ln x + 2ln y + 5ln z + ln(22 − x − y − z ) 4 4. Tìm các điểm cực trị của hàm số z=z(x,y) xác định bởi phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 2y − 4z − 10 = 0 5. Chọn (x,y) đê hàm số: u = 2x 2 − 4xy + 5y 2 − 8x − 16y + 125 đạt giá trị nhỏ nhất trong toàn bộ R2. 6. Chọn (x,y,z) để hàm số: u = 4xy − x 2 − 6y 2 − 3z 2 + 12y + 36z + 1 đạt giá trị lớn nhất trong toàn bộ R3. 7. Tìm các điểm cực trị của hàm số u = 3x 2 + 5xy với điều kiện: x + y = 16 8. Tìm các điểm cực trị của hàm số u = x y + (a 0,b 0) với điều kiện: x 2 + y 2 = 1 a b 9. Tìm các điểm cực trị của hàm số u = 2x + 9y + 1 với điều kiện: x 2 + 3y 2 = 31 10. Tìm các điểm cực trị của hàm số u = x 0,3y 0,7 với điều kiện: 5x + 4y = 200 11. Tìm các điểm cực trị của hàm số u = 2x 0,9y 0,6 với điều kiện: 3x + 5y = 600 12. Tìm các điểm cực trị của hàm số u = x − 2y + 2z với điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 = 1 13.Tìm các điểm cực trị của hàm số u = 5x + 4y + 3z với điều kiện: x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 36 14. Tìm các điểm cực trị của hàm số u = xy 2z 3 với điều kiện: x + 2y + 3z = 18 (x 0, y 0, z 0) 15. Cho biết hàm lợi ích:U = (x1 + 3)x 2 trong đó x1 là lượng hàng hóa A, x2 là lượng hàng hóa B. Hãy chọn túi hàng lợi ích tối đa trong điều kiện giá hàng hóa A là $5, giá hàng hóa B là $20, ngân sách tiêu dùng là $185. 16. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U = x1x 2 + x1 + 2x 2 sonlam Page 13 Trong điều kiện hàng hóa thứ nhất được bán với giá $2, hàng hóa thứ hai được bán với giá $5 và thu nhập dành cho người tiêu dùng là $51, hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình. 17. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U = x10,6x x0,25 Trong điều kiện hàng hóa thứ nhất được bán với giá $8, hàng hóa thứ hai được bán với giá $5 và thu nhập dành cho người tiêu dùng là $680, hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình. 18. Lập các hàm cầu Marshall của người tiêu dùng, cho biết hàm lợi ích: U = x1x 2 + 3x1 19. Lập các hàm cầu Marshall của người tiêu dùng, cho biết hàm lợi ích: U = x10,7x 20,3 20. Với hàm lợi ich và giá của hai hàng hóa cho ở bài tập 15, hãy xác định túi hàng chi phí tối thiểu đảm bảo mức lợi ích U=196 21. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = 2K 0,3L0,5 a) Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất b) Giả sử giá thuê tư bản là $6, giá thuê lao động là $2 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất ngân sách cố định $4800. Hãy cho biết đơn vị đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa? 22. Hãy trả lời các câu hỏi ở bài tập 21, với hàm sản xuất: Q = 10K 0,8L0,6 Giá thuê tư bản là $30, gia thuê lao động là $10 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất ngân sách cố định là $2100. 23. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất như sau: Q = K (L + 5) Công ty này nhận được hợp đồng cung cấp 5600 sản phẩm. Hãy cho biết phương án sử dụng các yếu tố K, L sao cho việc sản xuất lượng sản phẩm theo hợp đồng tốn ít chi phí nhất, trong điều kiện giá thuê tư bản wK=70 và giá thuê lao động wL=20 24. Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm với hàm chi phí như 2 sau (Qi là lượng sản phẩm i): TC = 3Q12 + 2QQ 1 2 + 2Q2 + 10 Hãy chọn mức sản lượng kết hợp (Q1, Q2) đẻ doanh nghiệp có được lợi nhuận tối đa khi giá sản phẩm 1 là $160 và giá sản phẩm 2 là $120. 25. Hãy trả lời các câu hỏi ở bài tập 24 khi: 2 Hàm chi phí: TC = Q12 − 2QQ 1 2 + 2Q2 + 7 Giá sản phẩm 1: p1=$32, giá sản phẩm 2 p2=$16 26. Một công ty độc quyền sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm với hàm chi phí (Q1 là lượng sản phẩm i): 2 TC = 3Q12 + 2QQ 1 2 + 2Q2 + 55 sonlam Page 14 Hãy chọn mức sản lượng kết hợp (Q1, Q2) và giá bán các snar phẩm đẻ doanh nghiệp có được lợi nhuận tối đa, khi cầu của thị trường đối với các sản phẩm của công ty như sau: Sản phẩm 1: Q1=50-0,5p1; Sản phẩm 2: Q2 = 76 − p2 . 27. Hãy trả lời các câu hỏi ở bài tập 26 khi: 2 Hàm chi phí: TC = Q12 + 2QQ 1 2 + Q2 + 20 Cầu đối với sản phẩm 1: Q1 = 25 − 0,5p1 , cầu đối với sản phẩm 2: Q2 = 30 − p2 28. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại hai nhà máy với hàm chi phí cận biên như sau (Qi là lượng sản phẩm sản xuất ở ở nhà máy i, MCi là chi phí cận biên của nhà máy i; i=1, 2): MC1 = 2 + 0,1Q1 ; MC 2 = 4 + 0,08Q2 Công ty đó bán sản phẩm trên thị trường với biểu cầu p = 58 − 0,05Q . Nếu công ty đó muốn tối đa hóa lợi nhuận thì phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và bán với giá bao nhiêu? 29. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại bốn nhà máy với hàm chi phí cận biên như sau (Qi là lượng sản phẩm sản xuất ở nhà máy i, MCi là chi phí cận biên của nhà máy i; i=1,2): MC1 = 20 +Q 1 , MC 2 = 40 + 0,5Q2,MC 3 = 40 +Q3 , MC 4 = 60 + 0,5Q4 Công ty đó bán sản phẩm trên thị trường với biểu cầu p = 580 − 0,3Q . Nếu công ty đó muốn tối đa hóa lợi nhuận thì phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và bán với giá bao nhiêu? 30. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó tại hai thị trường khác nhau, cho biết hàm chi phí: TC = 35 + 40Q (Q = Q1 + Q2 ) Và cầu của các thị trường đối với sản phẩm của công ty: Thị trường 1: Q1 = 24 − 0, 2p1 ; Thị trường 2: Q2 = 10 − 0,05p2 Hãy xác định sản lượng và giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối đa. 31. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó tại hai thị trường khác nhau, cho biết hàm chi phí cận biên: MC = 1,75 + 0,05Q (Q = Q1 + Q2 ) Và cầu của các thị trường đối với sản phẩm của công ty: Thị trường 1: p1 = 12 − 0,15Q1 ; Thị trường 2: p2 = 9 − 0,075Q2 Hãy xác định sản lượng và giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa. 32. Một nhà sản xuất độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bãn sản phẩm đó cho hai loại khách hàng. Cho biết hàm chi phí: TC = 90 + 20Q Nếu nhà sản xuất đưa Q1 sản phẩm ra bán cho loại khách hàng thứ nhất các hàng này bằng lòng trả giá p1=50-5Q1 USD cho mỗi sản phẩm. Nếu nhà sản xuất đưa Q2 sản phẩm ra bán cho loại khách hàng thứ hai thì các khách hàng này bằng lòng trả giá p2=100-10Q2 USD cho mỗi sản phẩm. Hãy cho biết lượng cung tối ưu và giá tối ưu cho mỗi loại khách hàng. sonlam Page 15