Bài tập Không gian vecto - Toán cao cấp FTU

CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VÉC TƠ Bài 3.1. Tìm véc tơ x = 2x1 – x2 + x3 biết: a) x1 = (2; 1; -1; 3); x2 = (- 2; 1; 3; 4); x3 = (-3; 1; 4; 5) b) x1 = (a; 1; 2; -1); x2 = (- 2; - a; 1; -1);x3 = (- 2; 4; a; 3) Bài 3.2. Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau a) U = {x1 = (2; 1; -1); x2 = (- 2; 3; -4); x3 = (3; - 1; 2)} b) U = {x1 = (3; -2; 4); x2 = (- 2; 2; 0); x3 =(- 1; 2; 4)} c) U = {x1 =(1;1;0); x2 =(0;1;1); x3 = (1;0;1); x4 =(2;-2; 2)} d) U = {x1 = (1; -1; 2); x2 = (2; 0; 1)} e) U = {x1 =(1;-1;2;3); x2 = (2;3;- 2;- 4); x3 = (3;2; 0; -1)} Bài 3.3. Biểu diễn véc tơ a qua các véc tơ u1, u2, u3 a) a = (4; 9; -3; -1); u1 = (1; 2; -1; 1); u2 = (0; - 1; 2; 2); u3 = (2; 4; 1; -1) b) a = (3; 0; 4) ; u1 = (1; -1; 2); u2 = (2; -1; 4); u3 = (0; 1; -1) Bài 3.4. Trong R3, hệ véc tơ nào sau đây là cơ sở của R3 a) U = {u = (1 ; -2 ; 3)} b) U = {u1 = (1 ; -1 ; -2) ; u2 = (3 ; 0 ; 1)} c) U = {u1 =(1 ; -2 ; 1) ;u2 = (1 ;-3 ; - 4) ; u3 = (2 ; -5 ; - 3) } d) U = {u1 = (1 ; -1 ; -3) ;u2 = (0 ; 0 ; 0); u3 = (5 ; -4 ; 0)} e) U = {u1 = (1 ; 1 ; 0) ; u2 = (-1 ; 1 ; 2); u2 = (2 ; 0 ; 1) ; u3 = (1 ; 2 ; 3)} f) U = {u1 = (1 ; 1 ; -2) ; u2 = (0 ; -1 ; 1) ; u3 = (0 ; 0 ; 2)} Bài 3.5. Tìm hạng của hệ véc tơ sau a) U = {u1 = (3 ; 1 ; -2) ; u2 = (-2 ; 1 ; 3) ; u3 = (-1 ; 3 ; 4)} b) U = {u1 = (-1 ; 1 ; 2) ; u2 = (2 ; - 3 ; -1) ; u3 = (-3 ; 2 ; 6)} c) U = {u1 = (2 ; 3 ; 1 ; 2) ; u2 = (3 ; 1 ; 2 ; 7) ; u3= (2 ; 4 ; 3 ; 3) ; u4= (1 ; 1 ; 2 ; 3)} d) U = {u1 = (1;2 ;3 ; -3) ; u2 = (2 ; 1 ; -2 ; 3) ; u3 = (-3 ; 1 ; 2 ; 1) ; u4 = (-3 ; 6 ; 3 ; 2)} e) U = {u1 = (1 ; 0 ; 1 ; -2) ; u2 = (1 ; 1 ; 3 ; -2) ; u3 = (2 ; 1 ; 5 ; -1) ; u4=(1 ; -1 ; 1 ; 4)} Bài 3.6. Tuỳ theo giá trị của m, tìm hạng của hệ véc tơ sau a) U = {u1= (1 ; - 2 ; 3) ; u2 = (2 ; 1 ; 0) ; u3 = (m ; 0 ; 0)} b) U = {u1 = (1 ; 2 ; -1) ; u2 = (2 ; 4 ; m)} c) U = {u1 = (1;1;1; 2) ; u2 = (1; -1; 2; 0) ; u3 = (1; 2; 0; 0) ; u4 = (m -1; -1; -1; -2)} Bài 3.7. Tập hợp nào sau đây là không gian con của không gian R3 a) F = {(x1; 0; x2); x1, x2 R} b) F = {(x1; 0; 1); x1 R} c) F = {(a; b; a - 2b); a, b R } d) F = {(x1, x2, x3): x1 - 2x2 + x3 = 1; x1, x2, x3 R} Nếu F là không gian con của R3 thì tìm cơ sở và số chiều của F. Bài 3.8. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F của R3 sinh bởi hệ véc tơ sau a) U = {u1 = (- 1 ; 2 ; -3)} b) U = {u1 = (1 ; - 1 ; 2) ; u2 = (-3 ; 0 ; 1)} c) U = {u1 = (1 ; 2 ; 1) ;u2 = (- 1 ;- 3 ; 4) ; u3 = (0 ; - 1 ; 5) } d) U = {u1 = (-1 ; 1 ; - 3) ; u2 = (0 ; 0 ; 0) ; u3 = (-1 ; 0 ; - 4)} e) U = {u1 = (1 ; 0 ; 0) ; u2 = (1 ; -1 ; 0) ; u3 = (1 ; 1 ; -1) ;u4 = (1 ; - 2 ; - 3)} f) U = {u1 = (1 ; 0 ; 0) ; u2 = (1 ; - 1 ; 0) ; u3 = (-1 ; 1 ; 1)} Bài 3.9. Tìm m để hệ véc tơ sau là cơ sở của không gian R3 a) U = {u1 = (3; 1; m); u2 = (1; 1; 0) ; u3 = ( 2; 1; m)} b) U = {u1 = (1; - 2; 2); u2 = (0; 1; -1) ; u3 = (1; -1; m)} Bài 3.10. Cho tập F = (x; y; z) R 3 : ax + by − z = 0; a, b R a) Chứng minh rằng F là không gian con của R3 b) Tìm dim F x − 2 y + mz = 0 (m là tham số) =0 x + y Bài 3.11. Cho tập F = ( x; y; z) R 3 : a) Chứng minh rằng F là không gian con của R3 b) Tìm dimF Bài 3.12. Cho hệ {u1, u2, u3} là phụ thuộc tuyến tính trên Rn và u3 không biễu diễn tuyến tính qua {u1, u2}. Chứng minh rằng u1 và u2 tỷ lệ nhau. Bài 3.13. Chứng minh rằng hạng của hệ véc tơ không đổi nếu: a) Đổi chỗ hai véc tơ trong hệ b) Nhân một véc tơ của hệ với một số khác không c) Nhân một véc tơ của hệ với một số thực khác không rồi cộng vào một véc tơ khác trong hệ Bài 3.14. Cho U = {u1, u2, …, um} Rn. Gọi L(U) là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử trên U: L(U) = {u = t1u1 + t2u2 + … + tmum| t1, t2, …, tm R} Chứng minh rằng L(U) là không gian véctơ con của Rn và dimL(U) = r(U) Bài 3.15. Cho hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} là độc lập tuyến tính trên Rn và hệ {X, u1, u2, …, um } phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh rằng véc tơ X biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong hệ U. x y z 3 Bài 3.16. Cho tập F = ( x; y; z) R : 1 0 1 = 0 1 2 −2 a) Chứng minh rằng F là không gian con của R3 b) Tìm cơ sở và số chiều của F. Bài 3.17. Cho hệ véc tơ a1 = (2; 1; 0); a2 = (-1; 1; 1); a3 = (1; 2; -1) và các véc tơ b1 = a1 – a2; b2 = 2a2 – a3; b2 = 2a2 – a3; b3 = a1 – 2a3. a) Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ {b1, b2, b3} b) Biểu diễn véc tơ x = (3; 1; -1) qua hệ véc tơ {b1, b2, b3} a b ; a , b, c, d R c d Bài 3.18. Cho tập E = A = a) Chứng minh rằng E với phép toán cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số lập thành một không gian véc tơ trên R. b) Tìm cơ sở và số chiều của E. Bài 3.19. Cho E, F là các không gian véc tơ con của E. Hỏi E F có là không gian con của Rn hay không? Bài 3.20. Trong R4, cho hệ véc tơ U = {u1=(-1; 2;1;2); u2 =(1; m; 1; 3); u3 =(1; -1; -1; -1); u4 =(-1; 2; m; 2); u5 =(1; 1; -1; 1)} Tìm một cơ sở không gian con L(U). Bài 3.21. Trong không gian R4, cho hệ véc tơ U = {u1, u2, u3, u4}với u1 = (2; 3; 3; -1); u2 = (1; -1; 3; 3); u3 = (2; 3; 1; a); u4 = (1; -1; b; 1) a) Tìm điều kiện của a, b để u là một cơ sở của R4. b) Khi a = -1, b = 2; hãy biểu diễn X = (2; 3; 0; 1) qua hệ véc tơ U Bài 3.22. Cho các tập con của R3: E = (x; y; z) R 3 : x − 2y + z = 0 x − y + 2z = 0 F = ( x; y ; z) R 3 : 2x − 3y + mz = 0 Tìm m để E F là không gian con của R3 có số chiều bằng 1. Bài 3.23. Trong R3, hãy chứng minh rằng L({u1, u2}) = L({v1, v2}) a) u1 = (3; -4; 2); u2 = (2; 3; -1); v1 = (0; -17; 7); v2 = (11; -9; 5) b) u1 = (2; -1; 5); u2 = (-1; 4; 3); v1 = (1; 2; 8); v2 = (4; 5; 21) Bài 3.24. Trong R4, cho hệ véc tơ U = {u1 = (1; 2; a; 1); u2 = (a; 1; 2; 3); u3 = (0; 1; b; 0)} a) Xác định a, b để hệ U là phụ thuộc tuyến tính. b) Với a, b tìm được, hãy tìm một cơ sở và số chiều của L(U). Bài 3.25. Giả sử u, v R n và A là ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng a) Nếu {Au, Av} là độc lập tuyến tính thì {u, v} là độc lập tuyến tính. b) Nếu {u, v} là độc lập tuyến tính và A khả nghịch thì {Au, Av} độc lập tuyến tính Bài 3.26. Trong không gian R4, cho F = (x + z; y; y + z; x + 2y) : x, y, z R và V = {(1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 2); (1; 0; 1; 0); (-1; 1; 1; 1)} a) Chứng minh rằng F là không gian con của R4 và V là hệ sinh của F. b) Tìm một cơ sở của F và hạng của V. c) Véc tơ a = (1; 1; 1; 3) có phải là một tổ hợp tuyến tính của V hay không? Bổ sung các véc tơ vào hệ V để trở thành một cơ sở của R4. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Bài 3.1. a) x = (3; 2; -9; 7) b) x = (2a; a + 6; a + 3; 2) Bài 3.2. Hướng dẫn: Tìm hạng của hệ véc tơ đó rồi kết luận a) độc lập tuyến tính b) phụ thuộc tuyến tính c) phụ thuộc tuyến tính d) độc lập tuyến tính e) phụ thuộc tuyến tính Bài 3.3. Hướng dẫn: Viết a = x1u1 + x2u2 + x3u3. Tìm x1, x2, x3. a) a = 2u1 – u2 + u3 b) a = u 1 + u 2 + 2u 3 Bài 3.4. Hướng dẫn: Hệ véc tơ có 3 véc tơ độc lập tuyến tính là cơ sở của R3 a), b), c), d) e) U không là cơ sở của R3 f) U là cơ sở của R3 Bài 3.5. Hướng dẫn: Đưa về tìm hạng của ma trận