C4: Hệ phương trình tuyến tính (Tóm tắt lý thuyết + Bài tập) - Toán cao cấp FTU

CHƯƠNG 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 4.1. Các khái niệm cơ bản 4.1.1. Các khái niệm Định nghĩa 4.1. Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn là hệ có dạng a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 (4.1) .................................................. a m1x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = bm trong đó aij (i = 1,m; j = 1,n) , bi (i = 1,m) là các số thực cho trước; x1, x2, …, xn là n ẩn số cần tìm; các bi (i = 1,m) được gọi là các hệ số tự do. • Nếu hệ (4.1) có số phương trình bằng số ẩn (m = n) thì hệ (4.1) được gọi là hệ vuông. • Nếu b1 = b2 = … = bm = 0 thì hệ (4.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. • Nghiệm của hệ (4.1) là một bộ n số (c1, c2, …, cn) sao cho khi thay thế x1 = c1, x2 = c2, …, xn = cn vào (4.1) thì ta được m đồng nhất thức. • Giải hệ (4.1) là ta đi tìm tất cả các nghiệm của hệ (4.1). • Ta gọi ma trận a11 a12 ... a1n a a ... a 2n A = 21 22 ... a m1 a m2 ... a mn là ma trận các hệ số của hệ (4.1). Ma trận a11 a12 ... a1n b1 a a ... a 2n b 2 21 22 A = ... a m1 a m2 ... a mn b m được gọi là ma trận bổ sung của hệ (4.1). 4.1.2. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính 1 Đặt x1 x X = 2 : cột ẩn, ... xn b1 b b = 2 : cột hệ số tự do ... bm Khi đó hệ phương trình tuyến tính (4.1) được biểu diễn dưới dạng ma trận A.X = b (4.2) 4.2. Điều kiện có nghiệm 4.2.1. Điều kiện tồn tại nghiệm Định lý 4.1. (Định lý Kronecker-Capeli). Hệ phương trình tuyến tính (4.1) có nghiệm khi và chỉ khi r(A) = r( A ). 4.2.2. Điều kiện duy nhất nghiệm Định lý 4.2. Hệ phương trình tuyến tính (4.1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi r(A) = r( A ) = số ẩn (= n). 4.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 4.3.1. Phương pháp giải hệ Cramer Định nghĩa 4.2. Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính vuông có ma trận các hệ số không suy biến (det(A) 0). Định lý 4.3. Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất. Công thức nghiệm: xj = det(A j ) det(A) (j = 1, n ) trong đó, Aj là ma trận nhận từ A bằng cách thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do. 4.3.2. Phương pháp giải hệ tổng quát Giả sử ta giải hệ tổng quát m phương trình tuyến tính, n ẩn dạng (4.1): Cách giải: • Tính r(A), r( A ) 2 • So sánh r(A) với r( A ): + Nếu r(A) r( A ) thì hệ (4.1) vô nghiệm. + Nếu r(A) = r( A ) = số ẩn (= n) thì hệ (4.1) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức Cramer xj = det(A j ) det(A) (j = 1, 2, …, n) + Nếu r(A) = r( A ) = r < n thì hệ (4.1) có vô số nghiệm (hay còn gọi là hệ vô định): Chỉ ra một định thức con cơ sở của ma trận A, giả sử ta đã chỉ ra một định thức con cơ sở là Dr. Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ gồm r phương trình của hệ đã cho mà có hệ số của các ẩn tạo nên Dr. r phương trình này được gọi là các phương trình chính của hệ (4.1). r ẩn của hệ (4.1) có hệ số tạo thành r cột của Dr được gọi là các ẩn chính, (n – r) ẩn còn lại được gọi là các ẩn phụ. Ta giải hệ gồm r phương trình chính và r ẩn chính bằng cách chuyển (n – r) ẩn phụ sang vế phải và coi như là các tham số, ta được hệ Cramer. Giải hệ Cramer đó, ta được công thức biểu diễn r ẩn chính qua (n – r) ẩn phụ. 4.3.3. Phương pháp Gauss Nội dung của phép khử Gauss như sau: • Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp về dòng để đưa ma trận bổ sung A về dạng ma trận bậc thang. • Khi đó hệ phương trình đã cho tương với hệ phương trình mới có ma trận hệ số bổ sung là ma trận bậc thang vừa thu được. Sau đó ta giải hệ mới này từ phương trình cuối cùng, thay các giá trị của ẩn vừa tìm được vào phương trình trên đó và cứ tiếp tục giải cho đến phương trình đầu tiên ta sẽ thu được nghiệm của hệ phương trình đã cho. 4.4. Hệ thuần nhất 4.4.1. Khái niệm Định nghĩa 4.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình tuyến tính có các hệ số tự do bằng không, tức là hệ có dạng 3 a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0 a x + a x + ... + a x = 0 21 1 22 2 2n n .................................................. a m1x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = 0 (4.3) Nhận xét: + Hệ (4.3) luôn có nghiệm là x1 = x2 = … = xn = 0. Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ (4.3). + Hệ (4.3) có nghiệm duy nhất (đó là nghiệm tầm thường) r(A) = n. + Hệ (4.3) có nghiệm không tầm thường r(A) < n. + Hệ thuần nhất vuông (hệ có số phương trình bằng số ẩn) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi det(A) = 0. 4.4.2. Cấu trúc nghiệm của hệ thuần nhất Định lý 4.4. Tập tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất n ẩn (4.3) là một không gian véctơ con của không gian Rn. Hơn nữa, nếu hệ thuần nhất đó có ma trận hệ số là A thì số chiều của không gian véctơ con này là n – r, với r là hạng của ma trận A. Không gian véctơ này được gọi là không gian nghiệm của hệ (4.3). Định nghĩa 4.4. Mỗi cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của nó. Nhận xét. Một hệ nghiệm của hệ thuần nhất (4.3) là một hệ nghiệm cơ bản +) HÖ ®ã cã ®óng n - r(A) nghiÖm +) HÖ ®ã ®éc lËp tuyÕn tÝnh Giả sử {x(1) = (x 1(1) , x (1) …, x (1) x(2) = (x 1(2) , x (2) …, x (2) …, 2 , n ), 2 , n ), x(n-r) = (x 1(n −r) , x (n2 −r) , …, x (nn −r) )} là một hệ nghiệm cơ bản của hệ (4.3). Khi đó mọi nghiệm x = (x1, x2, …, xn) của hệ (4.3) đều có dạng là tổ hợp tuyến tính của x(1), x(2), …, x(n-r): 4 n −r x = k x (k) (4.4) k =1 Công thức (4.4) với 1, 2, …, n-r tuỳ ý được gọi là công thức nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất (4.3). 4.5. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế 4.5.1. Mô hình cân đối liên ngành (mô hình Input – Outphut của Leontief) Mô hình Input – Output của Leontief (còn gọi là mô hình I/O) đề cập đến việc xác định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản suất trong tổng thể nền kinh tế. Ở đây khái niệm ngành được xem xét theo nghĩa ngành thuần tuý sản xuất. Các giả thiết đặt ra để xây dựng mô hình như sau: • Mỗi ngành sản xuất một loại hàng hoá thuần nhất hoặc sản xuất một số hàng hoá phối hợp theo tỷ lệ nhất định (coi mỗi tổ hợp hàng hoá theo tỷ lệ cố định). • Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi ngành được sử dụng theo tỷ lệ cố định. Trong nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại hàng hoá nào đó (output) đòi hỏi sử dụng các loại hàng hoá khác nhau để làm nguyên liệu đầu vào (input) của quá trình sản xuất và việc xác định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế là quan trọng nó bao gồm: - Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩn đó cho quá trình sản xuất - Cầu cuối cùng từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng cho quá trình sản xuất hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các tổ chức xuất khẩu,.. Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, ngành 1, 2, 3, … , n. Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta phải biểu diễn lượng cầu của tất cả các loại hành hoá ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền. Tổng cầu về sản phẩm hàng hoá của ngành i (i = 1, 2, … , n) được ký hiệu và xác định bởi: xi = xi1 + xi2 + … + xik + bi (i =1, 2, … , n) (*) Ở đây: xik là giá trị sản phẩm của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho quá trình sản xuất của mình (giá trị cầu trung gian). 5 bi là giá trị sản phẩm của ngành i dành cho nhu cầu tiêu dùng và xuất khẩu (giá trị cầu cuối cùng) Tuy nhiên trong thực tế ta thường không có thông tin về giá trị cầu trung gian xik, nhưng người ta lại chủ động trong việc xác định tỉ phần chi phí đầu vào của sản xuất. Ký hiệu aik là tỉ phần chi phí đầu vào của ngành k đối với sản phẩm của ngành i, nó được tính bởi công thức: a ik = x ik (i, k = 1, 2, ... , n) xk Chú ý rằng: 0 a ik 1 và ở đây giả thiết aik là cố định đối với mỗi ngành sản xuất i (k =1, 2, ... , n). Người ta còn gọi aik là hệ số chi phí đầu vào và ma trận A = [aik]n x n được gọi là ma trận hệ số chi phí đầu vào (hay ma trận hệ số kỹ thuật). Giả sử aik = 0,4 có nghĩa là để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phảm của mình, ngành k đã phải chi 0,4 đồng để mua sản phẩm của ngành i phục vụ cho quá trình sản xuất. x1 b1 x2 b Đặt X = ; b = 2 ... ... x b n n Ta gọi X là ma trận tổng cầu và b là ma trận cuối cùng. Khi đó, từ đẳng thức (*) thay xik = aikxk chúng ta có x i = a i1 x 1 + a i 2 x 2 + ... + a in x n + b i i = 1,2,...., n Hay biểu diễn dưới dạng ma trận : x 1 a 11 x 2 a 21 ... = ... x a n n1 a 12 a 22 ... a n2 ... a 1n x 1 b1 ... a 2 n x 2 b 2 . + ... ... ... ... ... a nn x n b n Tức là X = AX + b (**) Từ (**) ta có (E – A)X = b Ở đây, E là ma trận đơn vị cấp n. Nếu E – A khả nghịch thì X = (E – A)-1b (***) 6 Công thức (***) được gọi là công thức tính ma trận tổng cầu. Ma trận E – A được gọi là ma trận Leontief. Như vậy nếu chúng ta biết ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối cùng thì sẽ xác định được giá trị tổng cầu của các ngành sản xuất. 4.5.2. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hoá có liên quan Giả sử chúng ta nghiên cứu thị trường bao gồm n hàng hoá có liên quan: hàng hoá 1, 2, … , n. Khái niệm này được hiểu là khi giá của một mặt hàng nào đó thay đổi thì nó không những ảnh hưởng tới lượng cung ( Q S ) và lượng cầu ( Q D ) của bản thân mặt hàng đó, mà còn ảnh i i hưởng đến giá và lượng cung, lượng cầu của các mặt hàng còn lại. Người ta thường biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá của các mặt hàng hoá bởi hàm cung và hàm cầu như sau: QSi = Si (P1 , P2 ,..., Pn ) Q Di = Di (P1 , P2 ,..., Pn ) i = 1, 2, 3, … , n Ở đây, P1, P2, … , Pn ký hiệu theo thứ tự là giá của hàng hoá 1, 2, ... , i, ... , n Mô hình cân bằng thị trường n hàng hoá có liên quan được xác định bởi: Q Si = Q Di i = 1, 2, 3, ..., n Nếu giả thiết các QS , Q D (i =1, 2, 3, ... , n) có dạng tuyến tính thì mô hình trên chínhlà một i i hệ gồm có n phương trình và n ẩn số P1, P2, ..., Pn. Giải hệ phương trình trên ta tìm được bộ giá cân bằng thị trường: P = (P1 , P 2 , ..., P n ) Thay vào QS (Q D ) chúng ta thu được lượng cầu cân bằng thị trường: i i Q = (Q1 , Q 2 , ..., Q n ) 4.5.3. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân 7 Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân ở dạng đơn giản, với các ký hiệu: Y là tổng thu nhập quốc dân, G là chi tiêu chính phủ, I là đầu tư và C là tiêu dùng của các hộ gia đình. Ở đây, chúng ta giả thiết chi tiêu chính phủ và đầu tư là cố định G = Go và I = Io còn chi tiêu hộ gia đình có dạng tuyến tính: C = aY + b (0 <a <1; b> 0) Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân có dạng hệ phương trình tuyến tính gồm hai phương Y = G o + I o + C Y − C = G o + I o C = AY + b − aY + C = b trình 2 ẩn số Y và C: Giải hệ bằng quy tắc Cramer chúng ta xác định được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế: G +I +b Y= o o 1− a b + a (G o + I o ) C = 1− a Tiếp theo xét mô hình trong trường hợp thu nhập chịu thuế với thuế suất t% thường biểu diễn dưới dạng thập phân. Khi đó thu nhập sau thuế là: Yd = Y − tY = (1 − t )Y và hàm chi tiêu có dạng: C = aYd + b = a(1 – t)Y + b Nếu xét mô hình còn chịu ảnh hưởng bởi yếu tố xuất khẩu X và nhập khẩu N. Khi đó mô Y = G o + I o + C + X − N C = a (1 − t )Y + b hình có dạng Trong đó X và N có thể biểu diễn là hàm của Y hoặc là giá trị cố định cho trước. Do vậy chúng ta vẫn biến đổi đưa mô hình về hệ gồm hai phương trình ẩn Y và C. 4.5.4. Mô hình IS – LM Dùng mô hình IS – LM để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế chúng ta xem xét cả hai thị trường hàng hoá và tiền tệ. Một trong những yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến cả hai thị trường này là lãi suất r. Mục tiêu của chúng ta là phải xác định được mức thu nhập quốc dân và lãi suất ở trạng thái cân bằng. 8