Công thức Taylor, Qui tắc L_Hopital - Toán cao cấp FTU

Chương 2. Một số vấn đề mở rộng của giải tích một biến 1. Đại lượng vô cùng bé ĐN1. Hàm số f(x) đgl đại lượng vô cùng bé (VCB) khi x tiến tới x0 nếu lim f ( x) = 0 x → x0 ĐN2. Hàm số f(x) và g(x) là các VCB khi x tiến tới x0. f ( x) = k ( k 0, k ) thì f và g là 2 VCB cùng bậc x → x0 g ( x ) Nếu lim - Khi k=1 thì f và g gọi là 2 VCB tương đương f ( x) = 0 ta nói f là VCB bậc cao hơn g khi x tiến tới x0. x → x0 g ( x ) Nếu lim - Ký hiệu: f ( x) = o( g ( x)) VD. Khi x tiến tới 0 thì: x = o( x) , x = o( x) 2 5 o( x 3 ) o( x ) : lim o( x ) = 0; lim 3 = 0 : x →0 x →0 x 3 3 2. Công thức Taylor Định lý. (Công thức taylor) Giả sử hàm số f(x) xác định trong lân cận nào đó của điểm x0 (x0-e;x0+e) và có đạo hàm đến cấp n+1 trong lân cận đó. Khi đó với mọi x thuộc vào lân cận đó ta có: f ( x0 ) f ( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) + ... + ( x − x0 ) n + Rn ( x) 1! 2! n! Khi x0 = 0 ta thu được công thức Maclaurin: f (0) f (0) 2 f (n) (0) n x + x + …+ f(x) = f(0) + x + o(x n) 1! 2! n! Khai triển Taylor của một số hàm sơ cấp: I. I . Xét f x ex , f ’ x e x , f (n ) x + x n x2 xn e =1+x+ +…+ + …= 2! n! n = 0 n! x e xsuy ra f (n ) 0 e0 gần đúng của e là 2,718281828 1, n. x2 xn n e =1+x+ +…+ +o x 2! n! x ex = 1 + x + o x e = 1+1+1/2+1/6 +1/24 +1/120 2,708 +r 2,716666 x2 xn e =1+x+ +…+ + o( x n ) 2! n! x ex − 1 lim =1 x →0 x ex − 1 o( x ) e = 1 + x+ o(x) → e - 1 = x+ o(x) =1+ x x x x ex − 1 o( x ) = 1 + lim x lim x = 1 x →0 x →0 x2 x e =1+x+ +o(x2) 2! ex − x − 1 lim x2 = ??? x →0 x 2 x3 e =1+x+ + +o(x2) lim ??? = ??? 2! 3! x →0 x 2. Khai triển marlảuin với hàm f(x)=sinx đến cấp 5. 3. Khai triển marlảuin với hàm f(x)=cosx đến cấp 5. 4. x 2n - 1 1 3 2n n-1 II. sinx = x + o( x ) x + … + (-1) (2n - 1)! 3! 2,718281828 π π sin x( n) = sin( x + n ) → sin 0(2 n −1) = sin((2n − 1) ) = (−1) n −1 2 2 x 2n − 2 x2 x4 2n − 2 + - … + (-1)n-1 + o( x ) (2n − 2)! 2! 4! α (α - 1) 2 α(α - 1) ... (α - n + 1) n n IV. (1 + x) = 1 + x + x +…+ x + o( x ) 2! n! III. cosx = 1 - (−1)k −1 k V. ln(1 + x) = x + o( x n ) k k =1 n Ví dụ. Khai triển đa thức P(x) = x5 – 2x4 + x3 – x2 + 2x -1 theo các luỹ thừa của x – 1. Giải. Ta có P(1) = 0, P’(x) = 5x4 – 8x3 + 3x2 – 2x + 2 P’(1) = 0 P’’(x) = 20x3 – 24x2 + 6x – 2 P’’(1) = 0 P’’’(x) = 60x2 – 48x + 6 P’’’(1) = 18 P(4)(x) = 120x – 48 P(4)(1) = 72 P(5)(x) = 120 P(5)(1) = 120 P(n)(x) = 0, n ≥ 6, x R. P(x) = 120 18 72 (x – 1)3 + (x – 1)4 + (x – 1)5 = 3(x – 1)3 + 3(x – 1)4 + (x – 1)5. 5! 3! 4! Ví dụ. Khai triển hàm theo công thức Taylor x2 + 5 f(x) = 2 (Khai triển đến O(xn)). x + x - 12 Giải. Ta có f(x) = 1 + 3 2 3 2 17 - x =1+ =1x x x +4 x -3 (x + 4)(x - 3) 4 1 + 3 1 - 3 4 x 3 = 1 - 1 + 4 4 −1 2 x - 1 + - 3 3 −1 k k 3 n 2 n x k x = 1 - (−1) - + O(xn) 4 k =0 4 3 k =0 3 n 3( −1) k +1 5 2 k x + O(xn). =+ k+1 12 k =1 4k +1 3 3. Quy tắc L’Hôpital: 1) Quy tắc L’Hôpitan khử dạng vô định 0 hoặc : 0 Định lý: Nếu f(x) 0 i) giới hạn lim có dạng vô định hoặc x → a g(x) 0 f (x) ii) lim =L x → a g(x) 2x - x 2 lim x →2 x - 2 f(x) =L x → a g(x) Thì: lim Ví dụ. 2x - x 2 lim x →2 x - 2 Giải. GH đã cho có dạng vô định 0/0 2x ln2 - 2x = 4(ln2-1) x →2 1 mà lim Áp dụng Quy tắc Lôpitan ta có: 2x - x 2 lim =4(ln2-1) x →2 x - 2 f (x) f(x) không tồn tại thì không kết luận gì về giới hạn lim x → a g(x) x → a g(x) Chú ý: khi giới hạn lim 2x+sinx x →+ x GH có dạng vô định Ví dụ. Tính lim 2+cosx = lim (2+cosx) không tồn tại → ko suy ra bất cứ điều gì x →+ x →+ 1 2x+sinx sinx lim = lim (2 + )=2 x →+ x →+ x x Mà lim Ví dụ. ex −1 ex lim = lim = 1 x →0 x x →0 1 sinx cosx lim = lim =1 x →0 x x →0 1 e x − e− x − 2 x Ví dụ. Tính lim x →0 x − sin x Chú ý. a) Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hôpital nhiều lần,tức là: ex - e-x − 2x Ví dụ. Tính lim x →0 x - sinx Giải. Xét f(x) = ex – e-x – 2x, g(x) = x – sinx. Ta có f(x) = ex + e-x – 2, g(x) = 1- cosx f(x) = ex – e-x, g(x) = sinx f(x) = ex + e-x, g(x) = cosx f(x) 0 có dạng , x → 0 g(x) 0 Ta thấy lim f (x) 0 e x + e-x - 2 lim = lim có dạng , x → 0 g(x) x → 0 1 - cosx 0