C2: Định thức ma trận (Lý thuyết + Cách giải bài tập) - Toán cao cấp FTU

CHƯƠNG 2. ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2.1. Định thức 2.1.1. Khái niệm định thức a) Hoán vị và tính chất Ở đây, ta chỉ xét hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên và các tính chất của hoán vị đó. Định nghĩa 2.1. Cho tập X = {1, 2, 3, ... , n – 1, n} Một hoán vị của tập hợp X là một cách sắp xếp n phần tử của tập hợp đó theo thứ tự nhất định. Ký hiệu = 1 , 2 ,..., n Trong hoán vị 1 , 2 ,..., n nếu i < j nhưng i j thì cặp ( i ; j ) tạo thành một nghịch thế. Số nghịch thế của hoán vị, ký hiệu N( ) = N( 1 , 2 ,..., n ). Một hoán vị được gọi là hoán vị chẵn nếu số nghịch thế của nó là một số chẵn và được gọi là hoán vị lẻ nếu số nghịch thế của nó là số lẻ. Cách tìm số nghịch thế của hoán vị: Ta có thể đếm được số nghịch thế trong một hoán vị 12...n bằng phương pháp đơn giản sau đây: trước hết, đếm xem có bao nhiêu số đứng trước số 1, giả sử có k1 số; rồi ta xóa số 1 đi và đếm xem có bao nhiêu số đứng trước số 2 (không kể số 1 đã bị xóa), giả sử có k2 số; sau đó xóa số 2 đi và đếm xem có bao nhiêu số đứng trước số 3 (không kể các số 1 và 2 đã bị xóa), giả sử có k3 số; ... Khi đó, tổng số các nghịch thế có trong hoán vị đã cho bằng N( ) = k1 + k2 +...+ kn. Các tính chất 1) Nếu ta đổi chỗ hai số và giữ nguyên vị trí của các số còn lại thì hoán vị thay đổi tính chẵn, lẻ; tức là hoán vị chẵn biến thành hoán vị lẻ và ngược lại. Một tập hợp n phần tử có n! hoán vị khác nhau (n! = 1.2….n). 2) Nếu n 2 thì trong số n! hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên có một nửa hoán vị chẵn và một nửa là hoán vị lẻ. 3) Nếu bằng cách đổi chỗ các cột của ma trận 1 1 2 2 ... n ... n (với dòng thứ hai là một hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên) ta đưa ma trận đó về dạng: 1 2 ... n 1 2 ... n thì hai hoán vị 1 , 2 ,..., n và 1 , 2 ,..., n có cùng tính chẵn lẻ. b) Định nghĩa định thức cấp n Cho một ma trận A vuông cấp n: a 11 a A = 21 ... a n1 a 12 a 22 ... a n2 ... a 1n ... a 2 n ... ... ... a nn Các phần tử a11, a22, … , ann được gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính của A; còn các phần tử an1, an-1 2, … , a1n được gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ của A. Ta gọi di = [ai1 ai2 …. ain ] ( i = 1, n ) là véc tơ dòng thứ i của ma trận A n n j=1 j i j=1 j i Nếu d i = k j d j a ik = k j a jk (k = 1, n ) thì dòng di được gọi là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Lập tích (−1) N ( ) a 1 a 2 ...a n ,trong đó 1 , 2 ,..., n là một hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên và 1 2 n N( ) là số nghịch thế của hoán vị đó. Tổng của n! tích trên được gọi là định thức cấp n của ma trận A. Kí hiệu: A hoặc det A: det(A) = n!:( 1 2 .... n ) (−1) N( ) a11 a 22 ...a nn c) Tính các định thức cấp thấp Định thức cấp 1: A = a11 det A = a11 Định thức cấp 2: a A = 11 a 21 Định thức cấp 3: a 12 a det A = A = 11 a 22 a 21 a 12 = a 11 .a 22 − a 12 .a 21 a 22 a 11 det A = a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 = a 11 .a 22 .a 33 + a 12 .a 23 .a 31 + a 13 .a 21 .a 32 − a 13 .a 22 .a 31 − a 12 .a 21 .a 33 − a 11 .a 23 .a 32 Quy tắc Sarrus: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3 phần tử mà mỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất. * Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chính hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác (có 3 đỉnh) có một cạnh song song với đường chéo chính. * Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có (3 đỉnh) có một cạnh song song với đường chéo phụ. • • • • • • • • • • • • • Dấu • • Dấu + • • • Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn một quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp 3: ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức hoặc ghép thêm dòng thứ nhất và dòng thứ hai xuống bên dưới định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo như quy tắc thể hiện trên hình: Dấu - Dấu - Dấu + Dấu + 2.1.2. Tính chất 1) Định thức của một ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó. Từ đó, suy ra các tính chất của định thức mà đúng cho dòng thì cũng đúng cho cột. 2) Nếu mọi phần tử của một dòng nào đó của định thức bằng 0 thì định thức bằng 0. 3) Nếu trong định thức ta đổi chỗ hai dòng và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì định thức đổi dấu. 4) Định thức bằng 0 nếu có hai dòng bằng nhau. 5) Nếu nhân một dòng nào đó của định thức d với một số thì định thức mới nhận được bằng định thức cũ nhân với . 6) Định thức bằng 0 nếu có hai dòng tỷ lệ. 7) Trong định thức: a 11 ... d = b i1 + c i1 ... a n1 a 12 ... bi2 + ci2 ... a n2 ... a 1n ... ... ... b in + c in ... ... ... a nn Dòng thứ i được viết dưới dạng tổng của hai véctơ dòng: (a i1 , a i2 ,..., a in ) = (bi1 , bi2 ,..., bin ) + (ci1 , ci2 ,..., cin ) Khi đó, ta có thể tách định thức d thành tổng của hai định thức: d = d1 + d2; trong đó: a 11 ... d 1 = b i1 ... a n1 a 12 ... bi2 ... a n2 ... a 1n ... ... ... b in ; ... ... ... a nn a 11 ... d 2 = c i1 ... a n1 a 12 ... ci2 ... a n2 ... a 1n ... ... ... c in ... ... ... a nn 8) Nếu ta cộng vào một dòng của định thức tích của một dòng khác với một số k tuỳ ý thì định thức không thay đổi. 9) Định thức bằng 0 nếu hệ véctơ dòng của nó phụ thuộc tuyến tính. 2.1.3. Các phương pháp tính định thức Cho định thức cấp n: a 11 ... d = a i1 ... a n1 ... a 1 j ... ... ... a ij ... ... ... a nj ... a 1n ... ... ... a in ... ... ... a nm Phương pháp khai triển: • Phần phụ đại số của aij Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử aij ) của định thức d ta được một định thức cấp (n - 1), kí hiệu là M ij . Định thức M ij được gọi là định thức con cấp n -1 tương ứng với phần tử aij của A và A ij = (−1) i + j M ij được gọi là phần phụ đại số của phần tử aij của định thức d. • Công thức khai triển theo dòng thứ i : n d = a i1Ai1 + a i2 Ai2 + ... + a i Ain = a ijAij j=1 • Công thức khai triển theo cột thứ j : n d = a1jA1j + a 2 jA 2 j + ... + a njA nj = a ijAij i =1 Chú ý 2.1. Trong quá trình khai triển, ta nên chọn dòng hoặc cột có nhiều phần tử không nhất để khai triển. Nếu không có dòng hoặc cột như vậy thì ta dùng các phép biến đổi định thức đưa định thức về có dòng hoặc cột như vậy. Phương pháp biến đổi về dạng tam giác: Dùng các tính chất của định thức để biến đổi định thức về dạng tam giác, sau đó áp dụng công thức: a 11 0 d= ... 0 a 12 a 22 ... 0 a11 0 ... a 1n a a 22 ... a 2 n = a 11 .a 22 .a 33 ...a nn và d = 21 ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn ... 0 ... 0 = a11.a 22 .a 33 ...a nn ... ... ... a nn Phương pháp truy hồi: Biến đổi, khai triển định thức theo dòng (hoặc cột) sao cho có thể biểu diễn định thức đã cho qua các định thức cùng dạng nhưng có cấp thấp hơn, tức tìm công thức truy hồi f(dn, dn-1, ….) = 0 hay dn = g(dn-1, dn-2, … , d1) Từ đó, tính một vài định thức cấp thấp rồi suy ra công thức truy hồi để tính dn Phương pháp đặt nhân tử chung: Định thức có thể coi là đa thức của một hay nhiều biến trong định thức. Biến đổi nó sao cho có thể nhận biết được nó chia hết cho một số nhân tử nào đó (thường là bậc nhất). Sau đó đặt nhân tử chung đó ra ngoài định thức. Đưa định thức về định thức đã biết 2.2. Ma trận 2.2.1. Khái niệm Định nghĩa 2.2. Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột. Một ma trận có m dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m n. Khi cho một ma trận ta viết bảng số bên trong dấu ngoặc tròn hoặc ngoặc vuông. Ma trận cấp m n có dạng tổng quát như sau: a 11 a 21 ... a m1 a 12 a 22 ... a m2 ... a 1n a 11 a ... a 2 n 21 hoặc ... ... ... ... a mn a m1 a 12 a 22 ... a m2 ... a 1n ... a 2 n ... ... ... a mn Viết tắt là A = (aij)mxn hoặc A = [aij]mxn Chú ý 2.2. • Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau. A = [aij]mxn B = [bij]mxn aij = bij với mọi i,j • Ma trận chuyển vị của A là AT với AT = [aji]nxm 1 − 2 4 , 0 1 3 VD A = • AT 1 − 2 4 suy ra A=B 0 1 3 B= 1 0 2 1 4 3 • Ma trận đối của ma trận A là – A = [- aij]m x n • Ma trận có số cột bằng 1 gọi là ma trận cột, ma trận có số dòng bằng 1 gọi là ma trận dòng. • Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đểu bằng 0 : = [0]m x n • Ma trận vuông là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau. Một ma trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. • Ma trận tam giác là ma trận vuông khi có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0. +) Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có các phần tử nằm phía trên đường chéo chính bằng 0.