C3: Không gian vecto (Tóm tắt lý thuyết + Bài tập) - Toán cao cấp FTU

CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VÉCTƠ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 3.1. Khái niệm 3.1.1. Định nghĩa véctơ n thành phần Định nghĩa 3.1. Mỗi bộ n số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định x=(x1, x2, …, xn) được gọi là một véctơ n thành phần. • • Véctơ không = (0, 0, …, 0) Cho 2 véctơ n thành phần: x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn) x = y x1 = y1, x2 = y2, …, xn = yn. Ký hiệu Rn là tập hợp tất cả các véctơ n thành phần. 3.1.2. Các phép toán 3.1.2.1. Phép cộng giữa hai véctơ n thành phần Định nghĩa 3.2. Cho 2 véctơ n thành phần: x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn). Khi đó x + y = (x1 + y1, x2 + y2, …, xn + yn). Tính chất Cho x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn), z = (z1, z2, …, zn) ta đều có 1. u + v Rn u, v Rn. 2. x + y = y + x 3. (x + y) + z = x + (y + z) 4. x + = x. 5. -x = (-x1, -x2, …, -xn): x + (-x) = . 3.1.2.2. Phép trừ véctơ Định nghĩa 3.3. Hiệu của hai véctơ n thành phần x và y được xác định như sau: x – y = x + (-y) 3.1.2.3. Phép nhân một số thực với một véctơ n thành phần: Định nghĩa 3.4. Cho véctơ n thành phần: x = (x1, x2, …, xn) và một số R. Khi đó x = (x1, x2, …, xn) Tính chất Mọi véctơ n thành phần x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn) và mọi , R, ta có u Rn u Rn, R 7. (x + y) = x + y. 8. (x) = ()x 9. ( + )x = x + x 10. 1.x = x. 3.1.3. Định nghĩa không gian véctơ Không gian véctơ n thành phần Rn cùng với hai phép toán: phép cộng giữa hai véctơ n thành phần và phép nhân một số thực với một véctơ n thành phần. Định nghĩa 3.5. Cho tập E khác rỗng. Trên E trang bị hai phép toán : phép cộng hai phần tử của E, phép nhân một phần tử của E với một phần tử của trường số thực R. Nếu hai phép toán đó thoả mãn 10 tính chất trong mục 3.1.2.1 và 3.1.2.2 thì E cùng với hai phép toán đó được gọi là không gian véc tơ trên R. VD. Ta có tập Matmxn(R) các ma trận cấp m x n với các phần tử trên R cùng với phép cộng 2 ma trận và phép nhân ma trận với 1 số là một không gian véc tơ. 3.2. Mối quan hệ tuyến tính giữa các véctơ Cho S={u1, u2, …, um} E ; E là không gian véc tơ. Định nghĩa 3.6. Một tổ hợp tuyến tính của các véctơ S={u1, u2, …, um} E là biểu thức m u = u + u + + u , trong đó R; i = 1, m . i =1 i i 1 1 2 2 m m i m Nếu x = i u i thì ta nói x là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của S i =1 hay x biểu diễn tuyến tính được qua các véctơ u1, u2, …, um. Một số tính chất: • Véc tơ không là tổ hợp tuyến tính của mọi hệ véc tơ. • Véc tơ x là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ U và mọi véc tơ của U là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ V thì x cũng là tổ hợp tuyến tính của hệ V. Ví dụ 3.1. Trong R3, chứng minh rằng véc tơ x = (7; 2; 6) là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u1 = (- 3; 1; 2); u2 = (-5; 2; 3); u3 = (1; -1; 1). Giải: Để chứng tỏ x là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ {u1, u2, u3 }, ta cần tìm các số thực k1, k2, k3 sao cho x = k1u1 + k2u2 + k3u3 − 3k 1 − 5k 2 + k 3 = 7 k 1 ; k 2 ; k 3 : k 1 + 2k 2 − k 3 = 2 2k + 3k + k = 6 2 3 1 k 1 = −69 k 2 = 43 k = 15 3 Vậy x = -69u1 + 43u2 + 15u3 3.3. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 3.7. • Hệ véctơ S={u1, u2, …, um} E được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại bộ m số thực 1, 2, …, m không đồng thời bằng 0 sao cho 1u1 + 2u2 + … + mum = (*) • Hệ véctơ {u1, u2, …, um} E được gọi là độc lập tuyến tính nếu đẳng thức (*) chỉ xảy ra với 1 = 2 = … = n = 0. Ví dụ 3.5. Trong không gian R3, hệ véctơ sau S={u1 = (1, 1, 2), u2 = (1, 2, 5), u3 = (5, 3, 4)} xét sự phụ thuộc tuyến tính của S? Giải: Giả sử k1u1 + k2u2 + k3u3 = k1(1, 1, 2) + k2(1, 2, 5) + k3(5, 3, 4) = (0, 0, 0) k 1 + k 2 + 5k 3 = 0 k 1 + 2k 2 + 3k 3 = 0 2k + 5k + 4k = 0 2 3 Hệ phương trình bậc nhất 1 (*) Lấy phương trình 2 trừ phương trình 1, phương trình 2 nhân với (-2) rồi cộng với phương trình 3 thì hệ k 1 + k 2 + 5k 3 = 0 k 2 − 2k 3 = 0 k 1 + k 2 + 5k 3 = 0 k 2 − 2k 3 = 0 k 2 − 2k 3 = 0 (*) hệ k1 7k3 k2 2k3 k3 R Chọn k3 = 1 thì hệ (*) có nghiệm là k1 = -7, k2 = 2, k3 = 1. Vậy chứng tỏ hệ S đã cho là phụ thuộc tuyến tính. Một số tính chất Cho hệ U = {u1, u2, …, um} E Tính chất 1. Nếu hệ U độc lập tuyến tính ui ≠ , i = 1, m . Hệ quả. Nếu U thì hệ U phụ thuộc tuyến tính. Tính chất 2. Nếu U độc lập tuyến tính và U U thì hệ U độc lập tuyến tính. Hệ quả. Nếu hệ U phụ thuộc tuyến tính và U V thì hệ V phụ thuộc tuyến tính. 1u1 + 2u2 = + … + mum +u1+m + u2+m + … + 0.um+p = Tính chất 3. Hệ véctơ U = {u1, u2, …, um} (m ≥ 2) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một véctơ của hệ là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại. VD. S={u1, u2, u3 }: u1 =u2 +2.u3 Suy ra S pttt vì 0=(-1).u1 +u2 +2.u3 Hệ quả. i) Hệ U là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi không có véctơ nào biểu diến tuyến tính qua các véctơ còn lại. ii) Nếu hệ {u1, u2, …, um} là độc lập tuyến tính thì hệ {u1, u2, …, um, v} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi v là tổ hợp tuyến tính của các véctơ u1, u2, …, um. iii) Hệ chứa hai véc tơ tỷ lệ nhau luôn phụ thuộc tuyến tính. Tính chất 4. Trong không gian véc tơ E, cho hai hệ véctơ U = {u1, u2, …, um } V = {v1, v2, …, vp} Nếu m > p và mọi véctơ của hệ U đều biểu diễn tuyến tính qua các véctơ của hệ V thì hệ U phụ thuộc tuyến tính. 3.4. Hạng của hệ véctơ, cơ sở và số chiều của không gian véctơ 3.4.1. Hạng của một hệ véctơ 3.4.1.1. Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ véctơ Cho E là không gian véc tơ Định nghĩa 3.8. Cho hệ véctơ U E. Hệ con U’ U được gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ U nếu (i) U’ là hệ độc lập tuyến tính (ii) mọi véc tơ của U đều là tổ hợp tuyến tính của U’ (Hay mọi véc tơ x của U thì U ' x pttt) Chú ý 3.1. Điều kiện thứ 2 này người ta còn gọi U’ là hệ sinh của U Điều kiện thứ hai trong định nghĩa trên tương đương với điều kiện: x U\ U’, hệ U’ {x} là phụ thuộc tuyến tính. * Cách tìm hệ con độc lập tuyến tính cực đại của một hệ véctơ U E: Bước 1: Chỉ ra một hệ con độc lập tuyến tính của hệ U, giả sử hệ con đó là U’. Bước 2: Kiểm tra xem hệ U’ có phải là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U hay không? Ví dụ 3.6. Trong R3, tìm hệ véc tơ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ véc tơ U = {u1 = (1 ; -2 ; 3) ; u2 = (2 ; 1 ; 0) ; u3 = (3 ; -1 ; 3); u4= (0 ; -5 ; 6)} Giải : Hệ {u1} đltt U’={u1, u2} là độc lập tuyến tính. u 3 = u1 + u 2 u4 = 2u1 – u2; Do đó, hệ {u1, u2}; {u1, u3} đó chính là các hệ con độc lập tuyến tính tối đại của U. Định lý 3.1. Nếu hệ U’ là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U E thì mọi véctơ của hệ U đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua các véctơ của hệ U’. 3.4.1.2. Hạng của một hệ véctơ Định lý 3.2. Số véctơ của mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ U E là bằng nhau. Định nghĩa 3.9. Số véctơ trong một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ U E được gọi là hạng của hệ véctơ U. Ký hiệu là r(U) hoặc rank(U). Chú ý 3.2. r{} = 0. Tính chất 1. Hệ véctơ U = {u1, u2, …, um} độc lập tuyến tính r(U) = m. Hệ véctơ U = {u1, u2, …, um} phụ thuộc tuyến tính r(U) < m. Tính chất 2. Trong không gian véc tơ E, cho hệ véctơ {u1, u2, …, um} và véctơ v. Khi đó r{u1, u2, …, um} = r{u1, u2, …, um, v} v là tổ hợp tuyến tính của các véctơ u1, u2, …, um. Tính chất 3. Hạng của một hệ véctơ không thay đổi nếu ta thêm vào hệ đó véctơ .