Lý thuyết Kinh tế lượng (AAA) - Khuyết tật mô hình

giasuktl@gmail.com Buổi 2. Khuyết tật mô hình A. Đa cộng tuyến – Multicollinearity: Đa cộng tuyến (ĐCT): Hiện tượng tồn tại quan hệ tuyến tính giữa các biến độc lập. – ĐCT hoàn hảo: 𝜆0 + 𝜆1 𝑋1𝑖 + 𝜆2 𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝜆𝑘 𝑋𝑘𝑖 = 0. – ĐCT không hoàn hảo: 𝜆0 + 𝜆1 𝑋1𝑖 + 𝜆2 𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝜆𝑘 𝑋𝑘𝑖 + 𝑣𝑖 = 0. (với 𝜆0 ; 𝜆1 … là các hằng số không đồng thời bằng 0; 𝑣𝑖 là sai số ngẫu nhiên). Hậu quả: ĐCT hoàn hảo: Không ước lượng được mô hình. ĐCT không hoàn hảo: Vẫn ước lượng được mô hình: – Ước lượng OLS vẫn tuyến tính, không chệch, tốt nhất. ̂ 𝛽 – Phương sai và sai số tiêu chuẩn của ước lượng lớn, làm khoảng tin cậy lớn, thống kê 𝑡 = 𝑠𝑒(𝛽̂𝑖 ) thấp, ƯL 𝑖 dễ mất ý nghĩa. Không ảnh hưởng đến dự báo. – Các ước lượng OLS nhạy cảm với sự thay đổi của dữ liệu, dấu của các hệ số có thể bị ước lượng sai. Nhận biết: – 𝑅 2 cao (𝑅 2 > 0.8), t thấp. – Hệ số tương quan riêng giữa các biến độc lập r > 0.8. – Hồi quy phụ: Xét mô hình hồi quy k biến: 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑘 + 𝑢. Hồi quy phụ là hồi quy mô hình giữa các biến độc lập 𝑋2 , 𝑋3 , … 𝑋𝑘 với nhau. 2 Giả sử hồi quy 𝑋2 theo các biến còn lại: 𝑋2 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑋3 + ⋯ + 𝛼𝑘−1 𝑋𝑘 + 𝑣 (*). Thu được 𝑅𝑝ℎụ . Nếu mô hình (*) là phù hợp, ta có 𝑋2 phụ thuộc tuyến tính vào 𝑋3 , … 𝑋𝑘 , hay mô hình có đa cộng tuyến. Kiểm định sự phù hợp của (*) có thể dùng thống kê F: 2 2 𝑅𝑝ℎụ 𝑅𝑝ℎụ 𝑛 − (𝑘 − 1) 𝑛−𝑘+1 𝐹𝑞𝑠 = 2 . (𝑘 − 1) − 1 = 2 . 𝑘−2 1 − 𝑅𝑝ℎụ 1 − 𝑅𝑝ℎụ 1 – Thừa số tăng phương sai (hay Nhân tử phóng đại phương sai): 𝑉𝐼𝐹 = 1−𝑅2 𝑝ℎụ 2 với 𝑅𝑝ℎụ là hệ số xác định 2 của mô hình hồi quy phụ. Nếu VIF > 10 (tương đương 𝑅𝑝ℎụ > 0,9) thì có ĐCT. Cách khắc phục: Bỏ qua ĐCT nếu VIF < 10, mô hình dùng để dự báo chứ không phải kiểm định. – Bổ sung dữ liệu hoặc tìm dữ liệu mới. – Sử dụng thông tin tiên nghiệm. – Thay đổi dạng hàm. – Bỏ bớt biến độc lập. – Kết hợp số liệu chéo và số liệu chuỗi thời gian. – Sử dụng sai phân cấp 1: Thay vì ước lượng 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2,𝑡 + 𝛽3 𝑋3,𝑡 + 𝑢𝑡 , ta ước lượng ∆𝑦 = 𝛼1 + 𝛼2 ∆𝑥2 + 𝛼3 ∆𝑥3 + 𝑣𝑡 với ∆𝑦 = 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 , ∆𝑥2 = 𝑋2,𝑡 − 𝑋2,𝑡−1 , ∆𝑥3 = 𝑋3,𝑡 − 𝑋3,𝑡−1 . Mô hình này có thể không còn đa cộng tuyến hoặc làm giảm đa cộng tuyến. 18 giasuktl@gmail.com B. Phương sai sai số thay đổi – Heteroskedasticity: Phương sai sai số (PSSS) thay đổi: Hiện tượng mỗi sai số 𝑢𝑖 có một phương sai riêng: 𝑣𝑎𝑟(𝑢𝑖 ) = 𝜎𝑖2 . Hậu quả: – Ước lượng OLS vẫn tuyến tính, không chệch, nhưng không tốt nhất (không còn nhỏ nhất). – Phương sai của ước lượng bị chệch, khoảng tin cậy và kiểm định t không còn giá trị. – Các dự báo không còn hiệu quả. Nhận biết: – Phương pháp định tính: Sử dụng đồ thị của 𝑒𝑖 , 𝑒𝑖2 theo X hoặc 𝑌̂𝑖 . Nếu đồ thị biến đổi có quy luật (không phải đường nằm ngang song song trục hoành) thì có PSSS thay đổi. – Phương pháp định lượng: Kiểm tra sự phụ thuộc của PSSS 𝜎𝑖2 theo 1 biến nào đó. + Kiểm định Park: Giả sử 𝑙𝑛𝜎𝑖2 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑣𝑖 . – Ước lượng mô hình gốc thu được 𝑒𝑖 . Thay 𝑙𝑛𝜎𝑖2 bởi 𝑙𝑛𝑒𝑖2 . – Ước lượng hồi quy: 𝒍𝒏𝒆𝟐𝒊 = 𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 𝒍𝒏𝑿𝒊 + 𝒗𝒊 𝐻 :𝛼 = 0 – Xét cặp giả thuyết:[ 0 2 . 𝐻1 : 𝛼2 ≠ 0 Nếu bác bỏ 𝐻0 thì có PSSS thay đổi. + Kiểm định Glejser: Giả sử 𝜎𝑖 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑍𝑖 + 𝑣𝑖 . 1 1 (𝑍𝑖 có thể là: 𝑋𝑖 , 𝑋 , √𝑋𝑖 , 𝑋 ) 𝑖 √ 𝑖 – Ước lượng mô hình gốc thu được 𝑒𝑖 . Thay 𝜎𝑖 bởi |𝑒𝑖 |. – Ước lượng hồi quy: |𝒆𝒊 | = 𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 𝒁𝒊 + 𝒗𝒊 𝐻 :𝛼 = 0 – Xét cặp giả thuyết: [ 0 2 . 𝐻1 : 𝛼2 ≠ 0 Nếu bác bỏ 𝐻0 thì PSSS thay đổi. + Kiểm định White: Xét mô hình hồi quy 3 biến: 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝛽3 𝑋3 + 𝑢. 2 2 Giả sử: 𝜎𝑖2 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑋2𝑖 + 𝛼3 𝑋3𝑖 + 𝛼4 𝑋2𝑖 + 𝛼5 𝑋3𝑖 + 𝛼6 𝑋2𝑖 𝑋3𝑖 + 𝑣𝑖 2 – Ước lượng mô hình gốc thu được 𝑒𝑖 . Thay 𝜎𝑖 bởi 𝑒𝑖2 . – Ước lượng hồi quy: 𝒆𝟐𝒊 = 𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 𝑿𝟐𝒊 + 𝜶𝟑 𝑿𝟑𝒊 + 𝜶𝟒 𝑿𝟐𝟐𝒊 + 𝜶𝟓 𝑿𝟐𝟑𝒊 + 𝜶𝟔 𝑿𝟐𝒊 𝑿𝟑𝒊 + 𝒗𝒊 (1) 𝐻 : 𝛼 = 𝛼3 = 𝛼4 = 𝛼5 = 𝛼6 = 0 – Xét cặp giả thuyết:[ 0 2 𝐻1 : có ít nhất 1 α khác 0 2 – Tính 𝐿𝑀 = 𝜒𝑞𝑠 = 𝑛. 𝑅 2 (𝑅 2 là hệ số xác định của (1), 𝑛 là số quan sát ở mô hình (1)) 2 Nếu 𝜒𝑞𝑠 > 𝜒𝛼2 (𝑘 − 1) thì bác bỏ 𝐻0 , PSSS thay đổi. (k là số hệ số hồi quy của (1)). + Kiểm định Breusch – Pagan (BP): Xét mô hình hồi quy 3 biến: 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝛽3 𝑋3 + 𝑢. Giả sử: 𝜎𝑖2 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑋2𝑖 + 𝛼3 𝑋3𝑖 + 𝑣𝑖 . – Ước lượng mô hình gốc thu được 𝑒𝑖 . Thay 𝜎𝑖2 bởi 𝑒𝑖2 . – Ước lượng hồi quy: 𝒆𝟐𝒊 = 𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 𝑿𝟐𝒊 + 𝜶𝟑 𝑿𝟑𝒊 + 𝒗𝒊 (2) 𝐻 : 𝛼 = 𝛼3 = 0 – Xét cặp giả thuyết:[ 0 2 𝐻1 : có ít nhất 1 α khác 0 2 – Tính 𝐿𝑀 = 𝜒𝑞𝑠 = 𝑛. 𝑅 2 (𝑅 2 là hệ số xác định của (2), 𝑛 là số quan sát ở mô hình (2)) 2 Nếu 𝜒𝑞𝑠 > 𝜒𝛼2 (𝑘 − 1) thì bác bỏ 𝐻0 , PSSS thay đổi. (k là số hệ số hồi quy của (2)). + Kiểm định Breusch – Pagan – Godfrey (BPG): Xét mô hình hồi quy k biến: 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑘 + 𝑢 Giả sử: 𝜎𝑖2 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑍2𝑖 + ⋯ + 𝛼𝑚 𝑍𝑚𝑖 + 𝑣𝑖 với 𝑍2 , … , 𝑍𝑚 là các biến độc lập 𝑋𝑖 . – Ước lượng mô hình gốc thu được 𝑒𝑖 . – Tính: 𝜎̃ 2 = ∑ 𝑒𝑖2 𝑛 𝑒2 – Tạo biến: 𝑝𝑖 = 𝜎̃𝑖2 – Ước lượng hồi quy: 𝒑𝒊 = 𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 𝒁𝟐𝒊 + ⋯ + 𝜶𝒎 𝒁𝒎𝒊 + 𝒗𝒊 (3). thu được ESS. 𝐻 : 𝛼 = 𝛼3 = ⋯ = 𝛼𝑚 = 0 Xét cặp giả thuyết: [ 0 2 𝐻1 : có ít nhất 1 α khác 0 1 2 – Tính 𝜃 = 𝜒𝑞𝑠 = 2 𝐸𝑆𝑆. Nếu 𝜃 > 𝜒𝛼2 (𝑚 − 1) thì bác bỏ 𝐻0 , PSSS thay đổi. (m là số hệ số hồi quy của (3)). 19 giasuktl@gmail.com Các kiểm định trên đều có thể dùng p – value để đánh giá: p – value < 𝛼 thì bác bỏ 𝐻0 . Cách khắc phục: Thay đổi dạng hàm hoặc thực hiện theo các trường hợp sau: – Đã biết 𝜎𝑖 : Phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát (GLS): Chia cả 2 vế mô hình gốc cho 𝜎𝑖 . – Chưa biết 𝜎𝑖 : Giả định PSSS tỷ lệ với: biến giải thích, bình phương biến giải thích, hoặc bình phương giá trị kỳ vọng của Y. VD: Giả sử PSSS tỷ lệ với bình phương biến giải thích: 𝑣𝑎𝑟(𝑢𝑖 ) = 𝑐. 𝑋 2 với 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑌 𝛽 𝑢 Chia cả 2 vế của mô hình hồi quy đơn 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 . 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 cho 𝑋𝑖 ta được: 𝑋𝑖 = 𝑋1 + 𝛽2 + 𝑋𝑖 𝑖 𝑌 1 𝑢 Đặt 𝑌𝑖′ = 𝑋𝑖 , 𝑋𝑖′ = 𝑋 , 𝑣𝑖 = 𝑋𝑖 ⟹ 𝑌𝑖′ = 𝛽2 + 𝛽1 . 𝑋𝑖′ + 𝑣𝑖 . 𝑖 𝑖 𝑖 𝑢 𝑖 𝑖 1 Sai số mới là 𝑣𝑖 có PS không đổi: 𝑣𝑎𝑟(𝑣𝑖 ) = 𝑣𝑎𝑟 (𝑋𝑖 ) = 𝑋 2 𝑣𝑎𝑟(𝑢𝑖 ) = 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑖 𝑖 C. Tự tương quan – Autocorrelation: Tự tương quan (TTQ): Hiện tượng các sai số ngẫu nhiên (nhiễu) phụ thuộc lẫn nhau: 𝑐𝑜𝑣(𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 ) ≠ 0 (𝑖 ≠ 𝑗) Tự tương quan bậc p: 𝑢𝑡 = 𝜌1 𝑢𝑡−1 + 𝜌2 𝑢𝑡−2 + ⋯ + 𝜌𝑝 𝑢𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 (𝜀𝑡 là sai số ngẫu nhiên của mô hình) Hậu quả: – ƯL OLS vẫn tuyến tính, không chệch nhưng không tốt nhất (không còn nhỏ nhất) – Phương sai của ước lượng bị chệch, các kiểm định t và F cùng 𝑅 2 không đáng tin cậy. – Các dự báo không còn hiệu quả. Nhận biết: – Phương pháp định tính: Xét đồ thị của 𝑢𝑡 theo thời gian t hoặc theo 𝑢𝑡−1. Nếu 𝑢𝑡 phân phối 1 cách ngẫu nhiên thì không có TTQ và ngược lại. – Phương pháp định lượng: + Kiểm định Durbin – Watson: Điều kiện sử dụng: – Chỉ dùng để kiểm định tự tương quan bậc 1. – Mô hình ban đầu phải có hệ số chặn, biến X phi ngẫu nhiên. – Không có biến trễ của biến phụ thuộc, không có quan sát bị thiếu. Thống kê d Durbin – Watson: 𝑑 = ∑(𝑒𝑡 −𝑒𝑡−1 )2 ∑ 𝑒𝑡2 . Đặt: 𝜌̂ = ∑ 𝑒𝑡 𝑒𝑡−1 ∑ 𝑒𝑡2 ∈ (−1, 1) Ta có: 𝑑 ≈ 2(1 − 𝜌̂) ∈ (0, 4). 𝑑 = 4 ⟺ 𝜌̂ = −1: Tự tương quan hoàn hảo âm. 𝑑 = 2 ⟺ 𝜌̂ = 0: Không có tự tương quan. 𝑑 = 0 ⟺ 𝜌̂ = 1: Tự tương quan hoàn hảo dương. Quy tắc kiểm định: Với 𝑛 quan sát, 𝑘 ′ = 𝑘 − 1, với 𝑘 là số tham số của mô hình, mức ý nghĩa 5%, tra bảng để tìm 𝑑𝐿 và 𝑑𝑈 . Tính d và so sánh theo sơ đồ sau: Tự tương quan dương 𝜌>0 Không kết luận Không có tự tương quan Không kết luận Tự tương quan âm 𝜌<0 0 2 4 𝑑𝐿 𝑑𝑈 4 − 𝑑𝑈 4 − 𝑑𝐿 VD: Giả sử hồi quy theo OLS: 𝑛 = 80 quan sát, 𝑘 = 2, và giá trị tính toán của d = 1,62. Từ phụ lục bảng D, ta tra cứu được: 𝑑𝐿 = 1,611, 𝑑𝑈 = 1,662. D nằm giữa 𝑑𝐿 và 𝑑𝑈 nên theo quy tắc trên ta không có kết luận vềt tính tự tương quan. + Kiểm định Breusch – Godfrey (BG): Xét mô hình 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 và giả sử 𝑢𝑡 = 𝜌1 𝑢𝑡−1 + 𝜌2 𝑢𝑡−2 + ⋯ + 𝜌𝑝 𝑢𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 . H0 : ρ1 = ρ2 = ⋯ = ρp = 0 (không có tự tương quan) Kiểm định giả thuyết: [ H1 : tồn tại 1 ρ nào đó khác 0 (có tự tương quan) – Ước lượng mô hình gốc thu được phần dư 𝑒𝑡 . – Từ các giá trị của 𝑒𝑡 ước lượng mô hình sau bằng OLS thu được 𝑅 2 : 𝑒𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑡 + 𝜌1 𝑒𝑡−1 + 𝜌2 𝑒𝑡−2 + ⋯ + 𝜌𝑝 𝑒𝑡−𝑝 + 𝑣𝑡 20 giasuktl@gmail.com 2 – Với n đủ lớn, 𝐿𝑀 = (𝑛 − 𝑝)𝑅 phân phối xấp xỉ 𝜒 2 (𝑝). (𝑛 là số quan sát ở mô hình ban đầu) Nếu (𝑛 − 𝑝)𝑅 2 > 𝜒𝛼2 (𝑝) thì bác bỏ 𝐻0 , tồn tại tự tương quan ở 1 bậc nào đó. Các kiểm định trên đều có thể dùng p – value để đánh giá: p – value < 𝛼 thì bác bỏ 𝐻0 . Cách khắc phục: Với tự tương quan bậc 1: Bước 1: Tính ước lượng 𝜌̂ của 𝜌: 𝑢𝑡 = 𝜌𝑢𝑡−1 + 𝜀𝑡 . 𝑑 Có thể tính bằng biểu thức 𝜌̂ ≈ 1 − 2 hoặc lấy giá trị hệ số góc trong hồi quy: 𝑒𝑡 = 𝜌𝑒𝑡−1 + 𝜀𝑡 . Bước 2: Đổi biến: 𝑌𝑡∗ = 𝑌𝑡 − 𝜌̂. 𝑌𝑡−1 , 𝑋𝑡∗ = 𝑋𝑡 − 𝜌̂. 𝑋𝑡−1 . Và ước lượng mô hình mới: 𝑌𝑡∗ = 𝛽1∗ + 𝛽2∗ . 𝑋𝑡∗ + 𝑣𝑡 . Mô hình này có thể không còn tự tương quan hoặc làm giảm tự tương quan. D. Nhiễu không phân phối chuẩn – Normality: Hậu quả: – Sai số ngẫu nhiên không tuân theo quy luật chuẩn làm thống kê t không tuân theo quy luật Student, thống kê F không tuân theo quy luật Fisher, không đáng tin cậy khi cỡ mẫu nhỏ, chỉ đáng tin cậy khi cỡ mẫu lớn. Nhận biết: – Phương pháp định tính: Xét đồ thị phân phối của phần dư. Nếu đồ thị cân xứng thì có thể cho rằng nhiễu phân phối chuẩn và ngược lại. – Phương pháp định lượng: + Kiểm định Jarque – Bera: 𝑆 2 (𝐾 − 3)2 𝐽𝐵 = 𝑛 [ + ] 6 24 Với: S là hệ số bất đối xứng (Skewness), K là độ nhọn (Kurtosis). 𝐻 : 𝑢 phân phối chuẩn – Xét cặp giả thuyết: [ 0 𝑖 𝐻1 : 𝑢𝑖 không phân phối chuẩn 2 – Nếu 𝐽𝐵 > 𝜒𝛼 (2) thì bác bỏ 𝐻0 , nhiễu không phân phối chuẩn, ngược lại, nhiễu phân phối chuẩn. Có thể sử dụng p – value (trong bảng kết quả thống kê) để đánh giá: nếu 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 thì bác bỏ 𝐻0 . E. Mô hình thiếu biến bậc cao: Kiểm định RESET (hay Ramsey RESET) về thiếu các biến bậc cao (𝑌̂ 2 , 𝑌̂ 3 …): 𝐻 : Mô hình không thiếu biến Cặp giả thuyết: [ 0 𝐻1 : Mô hình thiếu biến Với: + 𝑅12 ; 𝑅22 lần lượt là hệ số xác định của mô hình khi có biến bậc cao và khi không có biến bậc cao. + 𝑚 là số biến bậc cao muốn khảo sát. + 𝑛; 𝑘 lần lượt là số quan sát và số hệ số hồi quy của mô hình khi có biến bậc cao. (cách làm giống như Kiểm định bỏ biến) Nếu: 𝑅12 − 𝑅22 𝑛 − 𝑘 (𝑚,𝑛−𝑘) 𝐹𝑞𝑠 = 2 . 𝑚 > 𝐹𝛼 1 − 𝑅1 hoặc 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 thì bác bỏ 𝐻0 , mô hình thiếu biến. (cách làm giống như Kiểm định bỏ biến) 21 giasuktl@gmail.com Một số thuật ngữ trong bảng kết quả của các phần mềm Kinh Tế Lượng VIF; Variance Inflation Factor Heteroskedasticity Homoskedasticity White’s Test White Heteroskedasticity Test Heteroskedasticity Test Glejser Ramsey RESET Test RESET Specification Test Breusch – Godfrey Test Breusch – Pagan Durbin – Watson Statistic Chi- squared (n) Normality Test Jarque – Bera Residual Null hypothesis Thừa số tăng phương sai Phương sai sai số thay đổi Phương sai sai số không đổi Kiểm định White về PSSS thay đổi Kiểm định Glejser về PSSS thay đổi Kiểm định RESET về mô hình thiếu biến Kiểm định BG về tự tương quan Kiểm định BP về PSSS thay đổi Kiểm định Durbin -Watson Phân phối Khi bình phương bậc n Kiểm định về phân phối chuẩn của nhiễu Phần dư Giả thuyết 𝐻0 Lưu ý : – Trong tất cả các kiểm định về các khuyết tật của mô hình (kiểm định về phương sai của sai số, kiểm định về tự tương quan, kiểm định tính phân phối chuẩn của nhiễu, RESET), giả thuyết 𝐻0 là mô hình không có khuyết tật, 𝐻1 là mô hình có khuyết tật. 22