C3: Phép tính vi phân của hàm nhiều biến số (Lý thuyết + Bài tập) - Toán cao cấp FTU

Chương 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ 3.1. Khái niệm Xét không gian Euclide n chiều Rn = {M (x1, x2, ..., xn)| xi R, i = 1, n } Lấy M0 = (x 10 , x 02 , ..., x 0n ), M = (x1, x2, ..., xn), N(y1, y2, ..., yn) Rn, D Rn • Khoảng cách giữa hai điểm M và N: n MN = d(M, N) = (x − y ) i =1 i 2 i k k + uk = xi ,{ xi }k =1 • Cho dãy điểm {Mk (x 1k , x k2 , ..., x kn )} D, k=1,2,... Ta nói dãy điểm {Mk} dần tới M0 khi k → + , nếu lim Mk M0 = 0 k →+ Kí hiệu: lim Mk = M0, hay Mk → M0, k → + k → Ta có Mk → M0, k → + MkM0 = n ( xik − xi0 )2 → 0 i =1 lim xik = xi0 , i = 1, n . + Ví dụ. n 1 n 1 ; : xn = ; yn = M n n +1 n n + 1 n n =1 lim Mn = M0(1;0) n →+ 2 2 n 1 lim M n M0 = lim − 1 + − 0 = lim n →+ n →+ n + 1 n n →+ 1 ( n + 1) 2 + • Hình cầu mở tâm M0, bán kính r (r > 0) trong Rn, kí hiệu là S(M0, r): S(M0, r) = {M: M0M < r} • Hình cầu đóng tâm M0, bán kính r (r > 0) trong Rn, kí hiệu là S(M0, r): 1 =0 n2 S ( M 0 ; r ) = M : M 0 M r • D • M0 được gọi là điểm biên của D nếu mọi lân cận của điểm M0 vừa chứa những điểm thuộc D và vừa chứa những điểm không thuộc D. Chú ý. Điểm biên của tập D có thể thuộc D, cũng có thể không thuộc D. S(M, r) có biên là đường tròn tâm M bán kính r • • • Tập hợp tất cả những điểm biên của D được gọi là biên của nó, k/h: D Tập D Rn được gọi là tập đóng nếu nó chứa biên của nó: D D Điểm M D được gọi là điểm trong của D nếu r > 0, S ( M, r ) D . • o o Tập hợp các điểm trong của D được gọi là phần trong của nó: D ; D D o • Tập hợp D được gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong: D D 1) Định nghĩa. Cho D Rn, ánh xạ f:D→R xác định bởi M = (x1, x2, ..., xn) D f(M) = f(x1, x2, ..., xn) được gọi là hàm số của n biến số xác định trên D. +) D được gọi là miền xác định của hàm số f +) x1, x2, ..., xn được gọi là các biến số độc lập. +) f(D) = R| (x1 , x 2 , ..., x n ) D : f(x1 , x 2 , ..., x n ) = } được gọi là miền giá trị của f. Ví dụ 1. Hàm số f(x, y, z) = 1 - (x2 + y 2 + z 2 ) có xác định là: D = {(x, y, z) R3| 1 - x2 + y2 + z2 0} = {(x, y, z) R3| x2 + y2 + z2 1} Ví dụ 2. Hàm số x sin y - ysinx , x 2 + y2 0 x 2 + y2 f(x, y) = 0, x 2 + y2 = 0 có miền xác định là: D = R2. 2) Các phép toán a) Các phép toán số học Cho D1, D2 Rn, f: D1 → R, g: D2 → R. Ta định nghĩa các hàm mới như sau: (f g)(M) = f(M) g(M), có miền xác định là D = D1 D2. (f g)(M) = f(M).g(M), có miền xác định là D = D1 D2. f (M) f g (M) = g(M) , có miền xác định là D = {M D1 D2| g(M) 0} b) Hàm hợp Cho hàm số f(u1, u2, ..., um) là hàm m biến với miền xác định là D Rm và u1 = u1(x1, x2, ..., xn), u2 = u2(x1, x2, ..., xn), ..., um = um(x1, x2, ..., xn) là các hàm n biến với miền xác định là X Rn sao cho với mọi (x1, x2, ..., xn) X thì (u1, u2, ..., um) D. Khi đó, ta có hàm hợp: F(x1, x2, ..., xn) = f(u1(x1, x2, ..., xn), u2(x1, x2, ..., xn), ..., um(x1, x2, ..., xn)) Chú ý. Trong tính toán, người ta không phân biệt f và F, tức là ta có thể viết f(x1, x2, ..., xn) = f(u1(x1, x2, ..., xn), u2(x1, x2, ..., xn), ..., um(x1, x2, ..., xn)) Ví dụ. 2 2 f(u, v) = e u - 2v , u = cosx, v = f(x, y) = e cos x - 2(x + y ) 2 2 2 x 2 + y2 3.2. Giới hạn 1) Giới hạn kép Giả sử hàm số w = f(M) = f(x;y) xác định trên tập D nằm trong R2 a) Định nghĩa. Định nghĩa 1. Số thực A được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M dần đến M0 nếu > 0, > 0 sao cho |f(M) – A| < với mọi M thuộc S(M0; ) Kí hiệu: lim f (x, y) = A hay lim f (M) = A M →M 0 x →x 0 y → y0 b) Tính chất Tính chất 1. Giới hạn kép của hàm 2 biến nếu có là duy nhất. Tính chất 2. lim f (M) = A M n : lim M n = M 0 lim f (M n ) = A n →+ M →M 0 n →+ Tức là: + M n : lim M n = M0 lim f (M n ) = A n →+ n →+ + N n : lim N n = M 0 lim f (N n ) = B khác A, suy ra lim f (M) không tồn tại n →+ n →+ M →M 0 x 2 - y2 Ví dụ. Tính lim 2 x →0 x + y 2 y →0 Giải. Miền xác định D = R2\{(0, 0)}. 1 2 1 1 Xét hai dãy điểm M n , và N n , . Ta có n n n n 1 4 − 2 2 n→+ n = lim − 3 = − 3 → O(0, 0) và lim f (M n ) = lim n Mn ⎯⎯⎯ n →+ n →+ 1 4 n→+ 5 5 + 2 2 n n 1 1 − 2 k→ n 2 = lim ( 0 ) = 0 → O(0, 0) và lim f (N n ) = lim n Nn ⎯⎯⎯ n →+ n →+ 1 1 n→+ + 2 2 n n x 2 - y2 Theo tính chất 2, suy ra không tồn tại lim 2 . x →0 x + y 2 y →0 lim (f (M) g(M)) = A B M →M 0 lim [f(M).g(M)] = A.B lim f (M) = A M→M0 M →M 0 Tính chất 3. f (M) A lim g(M) = B = (g(M) 0, B 0) Mlim M→M0 →M 0 g(M) B lim f (M) g(M) = A B (A 0) M→M0 sin(xy 2 ) lim =1 2 x →2 x y y →0 sin(xy 2 ) lim .lim y = 1.0 = 0 2 x →2 x →2 xy y →0 y→0 Tính chất 4. Nếu f(M) hàm 1 biểu thức xác định tại M0 thì giới hạn hạn tại điểm M0 chính là giá trị hàm số tại M0. Tính chất 5. (Nguyên lý kẹp) lim g(M) = lim h(M) = A M →M 0 M →M 0 lim f(M) = A. M→M0 r > 0, M S(M 0 , r) \ M 0 : g(M) f(M) h(M) x 3 + y3 Ví dụ 1. Tính giới hạn sau lim 2 x →0 x + y2 y →0 Giải. Miền xác định D = R2\{O(0, 0)}. Vì y3 x3 y3 x3 x 3 + y3 x3 y3 0 2 2 + 2 = + 2 + 2 = |x| + |y| x + y2 x + y2 x + y 2 x2 + y2 y x + y2 x2 Mà lim (x,y)→(0, 0) (| x | + | y |) = 0 Do đó, theo Nguyên lý kẹp, ta có x 3 + y3 x 3 + y3 lim = 0 → = 0. (x,y)→(0, 0) x 2 + y 2 (x,y)→(0, 0) x 2 + y 2 lim x 3 + y3 x+y Cách 2: − ( x + y ) 2 x + y2 x 3 + y3 2 x +y 2 x 3 + y3 2x y vì x 2 + y 2 2xy ???? x 4 -3y3 a)lim 2 x →0 x + y 2 y →0 x y3 xy3 xy3 = 2 2 = xy x 2 + y2 x + y2 y xy 2 b)lim 2 x →0 x + y 4 y→0