Slide TCC 2.3 - Toán Kinh Tế UEL

CHƯƠNG 3: HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán Kinh tế Nội dung 1 Hàm nhiều biến 2 Đạo hàm riêng 3 Cực trị: tối ưu tự do 4 Cực trị có điều kiện: tối ưu có ràng buộc 5 Một số ứng dụng UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 6: HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 2 / 40 Giới thiệu Sau khi học xong chương này, ta có thể: Hiểu được một số ứng dụng của hàm nhiều biến trong thực tế, ví dụ hàm thuần nhất và bài toán quy mô sản xuất. Sử dụng được đạo hàm riêng để phân tích giá trị biên, tính xấp xỉ hệ số co giãn của các hàm kinh tế. Giải được bài toán tối ưu không điều kiện và tối ưu có điều kiện trong kinh tế, ví dụ bài toán liên quan tới tối ưu hóa lợi nhuận, bài toán lượng cầu Marshall, lượng cầu Hick. Dùng được phần mềm hỗ trợ giải bài toán phức tạp. UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 6: HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 3 / 40 Hàm nhiều biến Definition Hàm f của hai biến số x , y trên tập xác định D là một quy tắc mỗi giá trị của x , y ∈ D thu được một giá trị z = f (x , y ). Các biến x , y là biến độc lập và z là biến phụ thuộc. R . Frisch and T. Haavelmo đã đưa ra mô hình tiêu thụ sữa của các hộ gia đình như sau: m2.08 z = A 1.5 , A > 0 p trong đó z là mức tiêu thụ sữa, p là giá sữa, m là mức thu nhập của hộ gia đình. UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 6: HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 4 / 40 Hàm nhiều biến (tt) Example Hàm hai biến thường xuất hiện nhiều trong kinh tế, chẳng hạn như hàm Cobb-Douglas về năng xuất dựa trên vốn sở hữu và lao động. Mô hình tổng quát như sau: F (K , L) = AK α Lβ . Mở rộng định nghĩa của hàm hai biến ta có hàm của n biến số x1 , x2 , ..., xn , ký hiệu y = f (x1 , x2 , ..., xn ). UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 6: HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 5 / 40 Hình minh họa của một hàm hai biến UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 6: HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 6 / 40 Hàm thuần nhất và ứng dụng Hàm thuần nhất Hàm thực f là hàm thuần nhất bậc s nếu: f (tX ) = t s f (X ). Hàm Cobb-Douglas nêu trên là hàm thuần nhất. Thông thường trong bài toán quy mô sản xuất ta xét một hàm thuần nhất như trên và xét t > 1. Hiệu quả sản xuất và quy mô Giả sử hàm sản xuất là thuần nhất bậc s. Ta có s > 1: hiệu quả sản xuất tăng theo quy mô, s = 1: hiệu quả sản xuất không đổi theo quy mô, s < 1: hiệu quả sản xuất giảm theo quy mô. Ví dụ: Bài tập cuối chương. UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 6: HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 7 / 40 Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1 Đạo hàm riêng được xác định thông qua đạo hàm hàm một biến. ∂f Đạo hàm riêng theo x , ký hiệu hay zx0 (x , y ), được xác định như ∂x sau: Coi y là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến x như trường hợp một biến ∂f Đạo hàm riêng theo y , ký hiệu hay zy0 (x , y ) được xác định như ∂y sau: Coi x là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến y như trường hợp một biến Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của hàm số z = xy 2 + ye x ? UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 6: HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 8 / 40 Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1 Đạo hàm riêng được xác định thông qua đạo hàm hàm một biến. ∂f Đạo hàm riêng theo x , ký hiệu hay zx0 (x , y ), được xác định như ∂x sau: Coi y là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến x như trường hợp một biến ∂f Đạo hàm riêng theo y , ký hiệu hay zy0 (x , y ) được xác định như ∂y sau: Coi x là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến y như trường hợp một biến Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của hàm số z = xy 2 + ye x ? UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 6: HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 8 / 40 Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1 Đạo hàm riêng được xác định thông qua đạo hàm hàm một biến. ∂f Đạo hàm riêng theo x , ký hiệu hay zx0 (x , y ), được xác định như ∂x sau: Coi y là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến x như trường hợp một biến ∂f Đạo hàm riêng theo y , ký hiệu hay zy0 (x , y ) được xác định như ∂y sau: Coi x là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến y như trường hợp một biến Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của hàm số z = xy 2 + ye x ? UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 6: HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 8 / 40