Tích phân suy rộng (Lý thuyết + VD) - Toán cao cấp FTU

Nhắc lại 1. Tích phân bất định Định nghĩa. Tập hợp các nguyên hàm của hàm số f(x) được gọi là tích phân của hàm số f(x). Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thì f (x)dx = F(x) + C 2. Tích phân xác định Bài toán tính diện tích hình thang cong Bài toán 2.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đường thẳng đứng x=a, x=b (a<b) và đồ thị của hàm số y=f(x) trên đoạn [a; b], trong đó f(x) là hàm số không âm và liên tục trên đoạn [a;b]. Ta chia hình thang cong cần tính diện tích thành nhiều hình thang cong nhỏ bởi các đường thẳng x x1, x (trong đó x 0 x 2,...., x xn 1 x1 .... a x2 xn 1 xn b) y y=f(x) f(y1) O a=x0 x1 x2 x3 xn-1 xn = b x Ta tính xấp xỉ diện tích các hình thang cong nhỏ bởi các hình chữ nhật có đáy là đoạn [xi-1; xi] và chiều dài bằng f(yi) với yi là một điểm bất kỳ trong đoạn [xi-1; xi], tức là xấp xỉ của diện tích hình thang cong thứ i là Si = f (yi ).(x i - x i-1 ) Nên xấp xỉ của diện tích hình thang cong ban đầu là: S = n f (y ).(x - x ) i =1 i i i-1 Ta có cảm nhận rằng diện tích xấp xỉ này càng chính xác nếu n cang lớn và còn hy vọng rằng nếu n tiến đến vô cực thì ta sẽ được diện tích đúng. Để làm sáng tỏ điều này thì tích phân xác định ra đời. Định nghĩa Cho hàm số f(x) liên tục trên [a, b]. Chia tuỳ ý đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ tùy ý bởi các điểm chia: a = x 0 x1 x 2 x n – 1 x n = b Ký hiệu Δx i = x i − x i −1 , i = 1, 2, ..., n. d = max x i . i = 1,n Trong mỗi đoạn [xi-1, xi], (i = 1, n ), lấy một điểm yi tùy ý. Lập biểu thức n Sn = f (yi ).x i i =1 Sn được gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên [a, b] Nếu cho n tiến đến vô cực sao cho d → 0 mà tổng Sn tiến đến một giới hạn hữu hạn I và giới hạn đó không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách chọn điểm yi thì b số I được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a, b] và ký hiệu là I = f( x )dx a Khi đó, f(x) được gọi là khả tích trên [a, b]. 1 VD: I = x 2dx 1 1 1 = = x3 3 3 0 0 theo định nghĩa nói trên Cho hàm số f(x) liên tục trên [0, 1]. Chia tuỳ ý đoạn [0, 1] thành n đoạn nhỏ tùy ý bởi các điểm chia: a = x 0 x1 x 2 x n – 1 x n = b xi Ký hiệu xi 1 xi i n 1 n Trong mỗi đoạn [xi-1, xi], (i = 1, n ), lấy một điểm yi xi i tùy ý. Lập biểu thức n i2 1 1 n 2 . i . 2 n 3 n i 1 i 1n 1 n(n 1)(2n 1) 6 n3 n Sn Sn 1 12 22 n3 (n 1)(2n ... n2 1) 6n 2 Sn được gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên [a, b] lim Sn + lim 1)(2n (n 1) 1 3 6.n 2 1 1 −1 x dx e dx −x 0 4. Tích phân suy rộng: 4.1. Tích phân suy rộng có cận vô hạn: (TPSR loại 1) Định nghĩa: t Cho hàm số f(x) C a, + ) . Nếu với mọi t ( a; + ) tồn tại tích phân (t) = f (x)dx và a lim (t) = I hữu hạn thì I được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f(x) trên khoảng a, + ) , t →+ + ký hiệu là f (x)dx , a + Ta có thể viết gọn lại thành: t f (x)dx = lim f (x)dx , ( a < t < + ) nếu giới hạn ở vế phải của t →+ a a là tồn tại hữu hạn, khi đó ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Các trường hợp khác ta nói tích phân suy rộng đó phân kỳ. + Ví dụ. Tính e dx −x 0 + Giải. Ta có t t 1 e dx = lim e dx = lim ( −e ) 0 = lim 1 − e = 1 −x t →+ 0 + Vậy tích phân 0 −x −x t →+ t →+ t e dx hội tụ −x 0 + Ví dụ. Tính t 0 t →+ 0 t →+ t ( ) 0 = lim ( e − 1) = + tích phân đã cho phân kỳ. x x x e dx = lim e dx = lim e t t →+ Tương tự ta có các định nghĩa sau: a 1. f(x) C ( −,a : a f (x)dx = lim f (x)dx (t< a) t →− − 2. f(x) C ( −, + ) : Nếu cả hai tích phân + (2) t a + − a f (x)dx, f (x)dx hội tụ thì + a f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx (a là một số thực bất kỳ) − − (3) a + f (x)dx là phân kỳ Trái lại thì tích phân − 0 Ví dụ. Tính 0 t →− − + Suy ra 0 1 e dx = lim e dx = lim ( −e ) t = lim −1 + e = + −x −x t −x t →− t t →− e dx phân kỳ. −x − + Ví dụ. Cho alpha là một số thực. Xét tính hội tụ của tpsr 1 x dx ( ) 1 Giải. * Với 1, ta có 1 t , khi >1 x1− t t1− 1 dx 1 − = lim = lim − = 1− 1 x dx = tlim →+ x t →+ 1 − 1 t →+ 1 − 1− 1 khi <1 +, * Với = 1, ta có + + b b 1 dx dx = lim ln x = lim ( ln b ) = + 1 x b→+ 1 x = blim →+ 1 b→+ + Kết luận: 1 x dx ( ) hội tụ khi 1, phân kỳ khi 1 1 + dx (1 + x )e 5 0 x2 , + 10 100 1000 e dx ~ e dx , e dx , e dx 0 −x 0 −x 0 −x 0 −x 2.3.1.2 Dấu hiệu hội tụ a) Định lý (Dấu hiệu so sánh 1): + ) f , g C a, + ) Cho +) 0 f ( x) g ( x) , x b, + ) , b a Khi đó + + a + a + a a i) g ( x)dx ht f ( x)dx ht. ii) f ( x)dx pk + dx e 1. Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân sau g ( x)dx pk. x2 0 + 2x VD. Xét sự hội tụ x dx 2 ( e + 1) x 1 2x 1 0 x g ( x ) = (e + 1) x 2 x2 + 1 dx hội tụ 2 x 1 x (1; + ) mà + 2x Suy ra x dx hội tụ 2 ( e + 1) x 1 + dx e 2. Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân sau x2 0 2 0 e x e x x [1, + ) 0 < f(x) = + mà 1 ex 2 1 = g(x), x [1, + ). ex dx e hội tụ (theo Ví dụ 1, mục 2.3.1.1). x 1 + Theo dấu hiệu so sánh trên, tích phân dx e x2 hội tụ 0 ***Dấu hiệu so sánh 2 Định lý 2: Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục và không âm x b, + ) , b a thì : f ( x) = k ( 0 k + ) thì các tích phân 1. Nếu lim x →+ g ( x ) hoặc cùng phân kỳ. + + a a f ( x)dx và g ( x)dx cùng hội tụ