Tóm tắt kiến thức Toán Kinh Tế - Toán Kinh Tế UEL

lOMoARcPSD| 69237702 TOÁN CAO CẤP - HỌC LIỆU ONLINE Biên soạn bởi: Tập thể giáo viên Toán Cao Cấp - Khoa Toán Kinh Tế - UEL Ngày 11 tháng 12 năm 2019 lOMoARcPSD| 69237702 1 Giới thiệu môn học Môn toán cao cấp cung cấp những kiến thức nền tảng và bổ trợ cho các môn như kinh tế vi mô, kinh tế vĩ mô, lý thuyết xác suất, thống kê ứng dụng, kinh tế lượng, dự báo kinh tế, v.v. Mặc dù tất cả các trường uy tín trên thế giới đều có học phần tương tự toán cao cấp cho sinh viên năm nhất, nhiều sinh viên và giảng viên đại học ở Việt Nam chưa hiểu "vì sao cần học những kiến thức cơ sở" này? Liên hệ một chút, khi muốn học chơi cờ, chơi đàn hay một môn gì mới, ban đầu chúng ta cần hiểu rõ về "cách chơi", "luật chơi", có đúng vậy không? Các môn khoa học nói chung và toán nói riêng cũng hơi giống như vậy! Nếu ta muốn sử dụng được các phương pháp toán học định lượng để nghiên cứu các hiện tượng hay quy luật trong thực tiễn, ta cần biết các kiến thức cơ sở của toán. Những cơ sở cơ bản nhất nằm trong đại số tuyến tính và giải tích. Đó là nội dung chính của học phần này. Chú ý rằng, hiểu rõ "luật chơi" chỉ là điều kiện cần, chưa bảo đảm để bạn sẽ trở thành kiện tướng cờ thực sự hay là một nghệ sỹ với những bản nhạc tuyệt vời. Muốn đạt tới đó, cần có đủ đam mê và quá trình rèn luyện. Hướng tới giáo dục 4.0, trong tài liệu này bên cạnh khối kiến thức căn bản về đại số và giải tích, chúng tôi bổ sung một số yếu tố mới, với mục tiêu: 1. Đưa môn học đến gần hơn với các môn cơ sở ngành và môn chuyên ngành. Đặc biệtchú ý tới các ứng dụng trực tiếp của kiến thức đại số tuyến tính, giải tích trong kinh tế, kinh doanh và quản lý. 2. Xây dựng hệ thống bài học gắn với các môn học khác và gắn với thực tiễn. Hình thứchọc tập đa dạng để tạo điều kiện cho việc triển khai lớp học linh hoạt, phù hợp với nhiều đối tượng chuyên ngành khác nhau. 3. Tạo thói quen và rèn luyện kỹ năng tìm kiếm, phân tích, tổng hợp, làm việc nhóm,thuyết trình ... thông qua các bài tập mở, bài tập nhóm, bài tập trình bày. 4. Giới thiệu cách sử dụng phần mềm, khuyến khích sinh viên thử nghiệm lập trình đểxử lý những bài tập tính toán phức tạp, tiếp cận xử lý các bài toán trong thực tiễn. lOMoARcPSD| 69237702 2 Chương1 Ma trận và hệ phương trình tuyến tính Sau khi học xong chương này, người học có những kĩ năng và kiến thức sau: 1. Hiểu về ma trận, hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng của chúng trong kinh tế và trong đời sống thực tế. 2. Tính toán được với các phép toán thông dụng trên ma trận và sử dụng được các phép biến đổi sơ cấp của ma trận. 3. Phân tích được các mô hình tuyến tính trong kinh tế: mô hình cân bằng cung cầu, mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô, mô hình Input-Output của Leontief. 4. Sử dụng được máy tính cầm tay và các phần mềm hỗ trợ để tính toán trên ma trận, hệ phương trình. 1.1 Ma trận và các phép toán Trong thực tế, chúng ta thường gặp nhiều bài toán cần xử lý nhiều dữ liệu cùng tính chất. Để thuận tiện cho việc quan sát và làm việc trên các dữ liệu như vậy, người ta có thể sắp xếp chúng thành các hàng, cột (các "ma trận hàng, cột" hay "vectơ") hoặc các bảng gồm có nhiều cột, nhiều hàng (các "ma trận"). Trên các cột hay các bảng như vậy, người ta có thể xây dựng các phép toán để xử lý dữ liệu theo từng mục đích cụ thể. Ví dụ bảng tổng số lượng bán ra của một cửa hàng trà sữa với hai loại trà tương ứng với 3 cỡ ly to, vừa và nhỏ sau mỗi ngày là một bảng 2 x3 như sau: Ly nhỏ (200ml) Ly vừa (400ml) Ly lớn (600ml) 1.1.1 Trà sữa Matcha 112 358 289 Hồng trà 140 321 254 Khái niệm ma trận Ma trận là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng và n cột. Ma trận ký hiệu bằng các chữ cái A, B, C.... và biểu diễn dưới dạng sau: hoặc dưới dạng Ma trận ở trên có cấp m × n. 3 lOMoARcPSD| 69237702 3 1.1.2 Một số dạng ma trận 1. Ma trận vuông là ma trận mà số dòng bằng với số cột. Một ma trận vuông cấp n × n còn được gọi tắt là ma trận vuông cấp n. Trong một ma trận vuông A = (aij)n×n, các phần tử a11,...,ann được gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính của ma trận. 2. Ma trận chéo là ma trận vuông mà các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0. 3. Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông mà các phần từ nằm dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0. 4. Ma trận đơn vị là ma trận chéo mà các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1. 5. Ma trận cột (dòng) là ma trận chỉ có một cột (dòng). 6. Ma trận không (kí hiệu bởi O) là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0. 1.1.3 Các phép toán trên ma trận 1. Phép cộng (trừ) hai ma trận A và B được thực hiện bằng cách cộng (trừ) các phần tử ở các vị trí tương ứng. Như vậy hai phép toán này chỉ thực hiện được khi hai ma trận A và B có cùng cấp. 2. Phép nhân một ma trận với một số thực λ được thực hiện bằng cách nhân λ tới tất cả các phần tử của ma trận đó. 3. Phép nhân ma trận A cho ma trận B được thực hiện bằng cách lấy từng dòng của A (từ trên xuống dưới) nhân vô hướng với từng cột của ma trận B (từ trái sang phải). Phép nhân AB chỉ thực hiện được khi số cột của A bằng với số dòng của B. 4. Phép chuyển vị của A được thực hiện bằng cách chuyển dòng của A thành cột. Ma trận chuyển vị của A được kí hiệu là At 1.2 Ma trận bậc thang dòng và các phép biến đổi sơ cấp Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang dòng nếu • Dòng có tất cả các phần tử bằng 0 luôn nằm dưới các dòng khác không. • Với hai dòng khác 0 bất kì, phần từ khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải của dòng trên luôn ở bên trái so với của các dòng dưới. Các phép biến đổi sơ cấp (viết tắt là bđsc): 1. Đổi chỗ hai dòng cho nhau: di ↔ dj. 2. Nhân một dòng với một số khác 0 di 7→ αdi,α 6= 0. 3. Thêm (bớt) vào một dòng, một tích vô của một số với một dòng khác di 7→ di + αdj. Ví dụ. 1.3 Hạng của ma trận. Hạng của một ma trận A là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang tương ứng với nó, và được kí hiệu là rank(A). Ví dụ. Cho ma trận lOMoARcPSD| 69237702 4 CHƯƠNG 1. MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . 1.4. ĐỊNH THỨC Bằng các phép biến đổi sơ cấp, ta đưa ma trận A về dạng bậc thang theo dòng như sau: . Như vậy, rank(A) = 2. 1.4 Định thức Định thức của một ma trận A, kí hiệu là det(A), hoặc là |A|, được định nghĩa bằng phương pháp quy nạp (công thức Laplace) như sau: • Nếu A = (a)1×1 thì detA = |A| = a. • Nếu thì . • Nếu thì . • Nếu A = (aij)n×n thì định thức của A khai triển theo dòng thứ i sẽ là detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ··· + ainAin, trong đó Aij là tích của (−1)i+j nhân với định thức của ma trận vuông cấp n−1 nhận được từ A bằng cách xoá đi dòng i, cột j. Aij được gọi là phần bù đại số của aij. Lưu ý. Ngoài khai triển theo dòng, định thức còn có thể được khai triển theo cột bằng công thức tương tự. 1.4.1 Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp Định thức của ma trận bậc thang . là det(A) = 2.5.7 = 70. Như vậy, định thức của ma trận tam giác trên (vuông) bằng với tích các phần tử trên đường chéo (chính). Mà ta đã biết các phép biến đổi sơ cấp có thể đưa ma trận về dạng bậc thang (trong trường hợp của ma trận vuông thì một ma trận bậc thang theo dòng là một ma trận tam giác trên), nên ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận về dạng bậc thang và từ đó tính định thức. Tuy nhiên, các phép biến đổi sơ cấp sẽ làm thay đổi giá trị định thức như sau: 1. Phép bđsc thứ nhất di ↔ dj làm cho định thức đổi dấu. 2. Phép bđsc thứ hai di 7→ αdi làm cho định thức mới bằng α lần định thức cũ. 3. Phép bđsc thứ ba di 7→ di − αdj không làm thay đổi giá trị định thức. Ví dụ 1.4.1. Tính định thức của ma trận sau . Ta thực hiện các phép bđsc như sau để đưa A về dạng bậc thang: lOMoARcPSD| 69237702 5 . Định thức của ma trận bậc thang sau cùng bằng với 3. Tuy nhiên, trong quá trình bđsc ta đã sử dụng phép bđsc d1 ↔ d2 (làm thay đổi dấu của định thức) và (làm định thức thay đổi lần). Nên detA = (−1) × 2 × 3 = −6. ———————————————— ————————————— 1.5 Ma trận khả nghịch Ma trận vuông A cấp n × n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận vuông B cùng cấp sao cho AB = BA = In, trong đó In là ma trận đơn vị cấp n. Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, và được kí hiệu bởi A−1. Định lý 1.5.1. Ma trận vuông A cấp n khả nghịch khi và chỉ khi một trong hai điều kiện tương đương sau được thoả mãn: • rank(A) = n, • detA 6= 0. Thuật toán tìm nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp: 1. Để tìm nghịch đảo (nếu có) của ma trận vuông A cấp n, ta lập ma trận mở rộng [A|In]. 2. Biến đổi sơ cấp trên các dòng của [A|In] để đưa nó về dạng [In|B]. Nếu không thể biến đổi được như thế, nghĩa là trong quá trình biến đổi sơ cấp, ma trận bên trái xuất hiện một dòng bằng không thì A không khả nghịch. Ngược lại, nếu thực hiện được thì A khả nghịch và nghịch đảo của A là ma trận B. Thuật toán tìm nghịch đảo của ma trận vuông A bằng định thức: 1. Tính detA. Nếu detA = 0 thì kết luận là A không khả nghịch. Nếu detA 6= 0 thì kết luận là A khả nghịch và chuyển sang bước tiếp theo để tìm nghịch đảo của A. 2. Tìm ma trận phụ hợp của PA, là ma trận cùng cấp với A và được định nghĩa bởi (PA)ij = Aij, trong đó Aij là phần bù đại số của aij. 3. Ma trận nghịch đảo của A lúc này được xác định bởi 1.6 . Hệ phương trình tuyến tính - Định lý KroneckerCapelli Xét một hệ phương trình tuyến tính như sau: a1x + b1y + c1z + d1t = e1 a2x + b2y + c2z + d2t = e2 a3x + b3y + c3z + d3t = e3 a4x + b4y + c4z + d4t = e4 Hệ phương trình trên tương đương ở dạng ma trận như sau: Do các kí hiệu ẩn x,y,z,t không đóng vai trò quan trọng, nên ta có thể viết lại hệ phương trình trên theo dạng ma trận mở rộng như sau: lOMoAR cPSD| 69237702 6 CHƯƠNG 1. MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH b1 c1 e1 b2 c2 e2 a2 b3 c3 e3 a3 b4 c4 d1 a4 d2 e4 d3 d4 Tương tự như vậy với hệ phương trình tuyến tính bất kì, ta có thể biểu diễn dưới dạng ma trận mở rộng. Câu hỏi được đặt ra là liệu chúng ta có thể sử dụng các tính chất của ma trận để xét nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tương ứng được hay không. Định lý Kronecker-Capelli sẽ cho chúng ta đáp án cho câu hỏi này. Định lý Kronecker-Capelli. Cho hệ phương trình Ax = b, trong đó A là một ma trận (thực) cấp m × n và b là một ma trận cột có m dòng, còn x là ma trận ẩn cấp n × 1. Lúc đó ta có: a1