Tóm tắt kiến thức các chương Toán CC - Toán Kinh Tế UEL

Chương I – MA TRẬN & ĐỊNH THỨC A.- MA TRẬN: I.- Các loại ma trận: Ma trận vuông: A = (aij)nxn Ma trận tam giác trên 0 0 1 0 2 4 3 5 6 Ma trận tam giác dưới Ma trận chéo Ma trận đơn vị 1 2 4 3 5 0 6 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 T Ma trận chuyển vị của A = (a)ijmxn là A = (aij)nxm II.- Phép cộng ma trận: A + B = (aij+bij)mxn III.- Phép nhân ma trận với số thực: k.A = (k.aij)mxn Tính chất: 1.- (A + B) + C = A + (C + B) 2.- A + (-A) = O Với –A = (-aij)mxn 4.- (k+x)A = kA +xA 5.- (kx)A = k(xA) T T T 7.- (AB) = B A (A mx n và D nxp ) 8.- (AT)n = (An)T 3.- k(A+B) = kA + kB 6.- (kA+xB)T = kAT + xBT n IV.- Phép nhân hai ma trận: A = (aij)mxn và B = (bij)nxp => A.B = (cij)mxp với cij=∑aikbkj k=1 Tính chất: 1.- (AB)C = A(BC) 4.- IA = AI = A 2.- (A + B)C = AC + BC 5.- (kA)(xB) = kxAB Trang 1/12 3.- C(A + B) = CA + CB B.- MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO: I.- Khái niệm: A.A-1 = A-1.A = In và A khả nghịch khi và chỉ khi |A|≠0. II.- Phương pháp tính: 1.- Dùng ma trận phụ hợp A* (A hay PA): Mij là định thức con của A (sau khi bỏ đi dòng i và cột j). 2.- Dùng phép biến đổi sơ cấp: a.- Đổi chỗ 2 dòng cho nhau. b.- Lấy một dòng nhân với số thực k≠0. c.- Thay một dòng bằng dòng đó cộng với k lần dòng khác. Biến đổi: (A|I) → (I|A-1) Chú ý: Khi biến đổi nếu xuất hiện dòng có tất cả các phần tử bằng 0 thì kết luận không có ma trận nghịch đảo. 3.- Tính chất: 1.- A-1 là duy nhất. 2.- (A-1)-1 = A 3.- (AT)-1 = (A-1)T 4.- (AB)-1 = (B-1).(A-1) 5.- (k.A)-1 = (1/k).(A-1) Với k≠0 6.- (A-1)n = (An)-1 7.- (AB)* = B*.A* 8.- AX = B => X = A-1.B 9.- XA = B => X = B.A-1 10.- kAXB = C => X = (1/k)A-1CB-1 Trang 2/12 C.- ĐỊNH THỨC: I.- Tính định thức: Cho Anxn, định thức của A, ký hiệu: |A| hay det(A) được tính: n=1: |A| = |a11| = a11 n=2: a a = a11*a22 – a12*a21 a21 a22 n=3: a11 a12 a13 11 12 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11*a22*a 33 – a31*a22*a 13 + a21*a32*a 13 – a11*a32*a 23 + a21*a12*a 33 – a21*a12*a 33 a a a 11 12 13 a21 a22 a23 n>3: A= aj(−1)i+j MijVới Mij là định thức con cấp n-1 của A có từ việc bỏ dòng i và cột j. i II.- Tính chất: n -1 1.- |A|=|AT| 2.- |kAnxn | = k |A| 3.- |A | = 1/|A| 5.- |AB|=|A||B| 6.- |An| = (|A|)n 2.- Đổi chỗ 2 dòng → Định thức đổi dấu. * n-1 4.- |Anxn | = (|A|) 5.- Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính. 6.- |AB|=|A|.|B| Với Anxn, Bnxn. Chú ý: Tính chất 2,3,4 đúng khi thay dòng thay cột. Trang 3/12 D.- HẠNG CỦA MA TRẬN: Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa về dạng ma trận bậc thang, hạng của ma trận là số dòng có tồn tại ít nhất một phần tử khác 0. R(Amxn) = k Với k ≤ min(m;n) Chương II – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I.-AmxnX Khái niệm: nx1 = Bmx1 (A|B) là ma trận hệ số mở rộng. II.- Phương pháp giải (Gauss): A = (aij)mxn là ma trận hệ số. B = (bi)mxn là cột tự do. III.- Hệ Cramer: Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận hệ số mở rộng về Hệ Cramer: AnxnXnx1 = Bnx1 1.- |A|≠0 Hệ có nghiệm duy nhất X=A-1B. dạng bậc thang để xác định hạng của ma trận. Trong quá trình biến đổi nếu xuất hiện một dòng có dạng (0 Đặt D=|A|≠0; Dj là định thức của ma trận … 0 | bi) => Hệ vô nghiệm. thu được khi thay cột j của A bằng B. Khi đó nghiệm của hệ: xi = Di/D Với i=1..n. Sự tồn tại nghiệm (n ẩn): Trường hợp: D=0 và Dj≠0. Hệ vô nghiệm r(A) < r(A|B) Hệ có nghiệm r(A) = r(A|B) 2.- |A|=0 Hệ có vô số nghiệm hoặc vô - Nghiệm duy nhất xi = bi r(A) = r(A|B) = n nghiệm. - Vô số nghiệm r(A) = r(A|B) < n IV.- Hệ phương trình thuần nhất: Hệ phương trình thuần nhất và đẳng cấp nếu bi=0 i. AX = 0 luôn có nghiệm tầm thường X = 0 hoặc vô số nghiệm. V.- Mô hình input-output Leontief: ⇔ ⇔ ⇔ Giả định: ⇔ ∃ ⇔ ⇔ ∀ - Mỗi ngành chỉ sản xuất một loại sản phẩm đồng nhất. - Các ngành sử dụng một tỷ lệ cố định đầu vào từ các ngành khác. - Nếu lượng đầu vào tăng k lần thì đầu ra cũng tăng thêm k lần. Trang 4/12 ⇒ -1 1.- Mô hình mở: (I-A).X =D X = (I-A) 2.- Mô hình đóng: (In-A).X = 0. .D n n Vì |I-A|=0 => hệ có vô số nghiệm => mô hình đóng A = (aij)nxn là Ma trận hệ số đầu vào của n ngành. sẽ không có duy nhất đầu ra. X là sản lượng đầu ra. D là yêu cầu cuối cùng. aij là cần aij đơn vị tiền của ngành i để sản xuất ra 1 đơn vị tiền của ngành j. aijxj là-1 nguyên liệu của ngành i tham gia vào ngành j để ngành j sản xuất ra lượng sản phẩm là xj. (In-A) = (cij) là giá trị sản lượng tăng thêm của ngành i khi ngành mở yêu cầu ngành j thêm 1 đơn vị tiền. Chương III – GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC A.- GIỚI HẠN. 1.- Giới hạn thông thường: a x n + a x +...+a0 a= n với (n=m) hay ∞ với (n>m) hay 0 (n<m). lim m bx + b x +...+b0 bn n−1 n n−1 m m−a m−1 0 lim(1 + x)1/x=e limarctg(x) = x0→ x→ + ∞ 1 )x =e x x 2.- Công thức Logarit: a log b = b π 2 lim(1+ limarctg(x) = − →±∞ x→−∞ a a log c = c log a b limarccotg(x) x→ + ∞ π limarccotg(x) log(bca) =c.logab logab = logac.logcb 2 logab = (logcb)/(logca) ∞ 3.- Khử dạng vô định: Các dạng vô định 0/0; /∞∞; ∞ - ∞ ; 0.∞; 1 . Khử 1∞: Đặt y=f(x)g(x) >0 Quy tắc L’Hospital: 0/0; ∞/∞. Trang 5/12 = π x→−∞ loga(bc) = logab + logac b =0 loga(b/c) = logab-logac 1 logab c = logac b ⇒ lny= g(x)ln[1+f(x)-1] f(x) f'(x) =lim lim 0g(x) x→x0g'(x) limf(x)g(x)=limy=limeg(x)[f(x)−1] x→x0 x→x x→x0 x→x0 B.- TÍNH LIÊN TỤC. f(x) liên tục tại x0 limf(x)=limf(x)=f(x0). Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì: ⇔ − x→x+ f(a).f(b) < 0 f(x) đạt GTLN và GTNN trên [a,b] ⇒ ∃x ∈(a;b) sao cho f(x )=0 0 0 Chương IV – VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN f (x + x) − f (x 0) f (x 0 ) Với∆x=x-x0 =lim =f'(x) I.- Khái niệm: lim ∆x→0 ∆x ∆x 0) f'(x+0)=f'(x− f(x) có đạo hàm tại x0 f(x) liên tục tại x0. Y=f(x)có đạo hàm tại x0 II.- Quy tắc đạo hàm cơ bản: u = f(x); v = g(x); s = g(u); c hằng số: (c/v)’ = - c.v’ / v2 (u±v)’ = u’±v’ (c.v)’ = c.v’ s’x = s’u.u’x (u.v)’ = u’.v + u.v’ (u/v)’ = (u’.v – u.v’) / v2 0 0 ∆x→0 ⇔ ⇒ III.- Công thức đạo hàm cơ bản: (xm)’ = mxm-1 (ex)’ = ex (lnx)’ = 1/x (sinx)’=cosx 2 (cotgx)’ = -1/(sin x) −1 (arcsinx)'= 1−x2 (n) (n-1) IV.- Đạo hàm cấp cao: f (x) = [f (x)]’ VI.- Quy tắc vi phân cơ bản: (ax)’ = axlna (cosx)’ = -sinx (arccosx)'= Trang 6/12 1 1−x2 (logax)’ = 1/(xlna) (tgx)’ = 1/(cos2x) (arctgx)’ = 1/(1+x2) (arcotgx)’ = -1/(1+x2)