Ứng dụng đạo hàm riêng trong kinh tế (Lý thuyết + Bài tập) - Toán cao cấp FTU

3.3. Ứng dụng của đạo hàm riêng trong phân tích kinh tế 3.3.1. Đạo hàm riêng và giá trị cận biên Ý nghĩa của đạo hàm riêng trong kinh tế học Xét mô hình hàm kinh tế: w =f(x1; x2; ...; xn) trong đó x1; x2; ...; xn; w là các biến số kinh tế. Đạo hàm riêng của hàm w theo biến xi tại điểm M o (x 1o , x o2 ,...,x on ) được gọi là giá trị w – cận biên theo xi tại điểm đó. Nghĩa là w 'x (M o ) biểu diễn xấp xỉ lượng i thay đổi giá trị của biến w khi giá trị xi tăng thêm 1 đơn vị trong điều kiện giá trị các biến độc lập còn lại không thay đổi. * Hàm sản xuất: Q = f(K, L) Có các đạo hàm riêng: QK , QL được gọi tương ứng là hàm sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản (MPPK) và hàm sản phẩm hiện vật cận biên của lao động (MPPL) tại điểm (K; L). Ý nghĩa: QK biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị tư bản và giữ nguyên mức sử dụng lao động. Tương tự, QL biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động và giữ nguyên mức sử dụng tư bản. 1 3 Ví dụ 3.21. Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = 100K 4 L4 ; trong đó: K, L, Q là mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng ngày. Giả sử doanh nghiệp đó đang sử dụng 16 đơn vị tư bản và 81 đơn vị lao động trong một ngày tức là K = 16; L = 81. Xác định sản lượng cận biên của tư bản và lao động tại điểm đó và giải thích ý nghĩa. Giải: Hàm sản lượng cận biên của tư bản và của lao động lần lượt là: −3 3 1 −1 ' ' QK = f K ( K ; L) = 25K 4 L4 ; QL = f L ( K ; L) = 75K 4 L 4 Sản lượng cận biên của tư bản và của lao động tại K = 16; L = 81 tương ứng là: −3 3 25.27 ' MPPK (16;81) = QK (16;81) = 25 16 4 814 = = 84,375 ; 8 1 −1 75.2 ' MPPL (16;81) = QL (16;81) = 75 16 4 81 4 = = 50 . 3 Nghĩa là, nếu doanh nghiệp tăng mức sử dụng tư bản K từ 16 lên 17 đơn vị và giữ nguyên lao động L = 81 trong 1 ngày thì sản lượng tăng thêm xấp xỉ 84,375 đơn vị sản phẩm. Tương tự, nếu doanh nghiệp tăng mức sử dụng lao động từ 81 lên 82 trong một ngày và giữ nguyên sử dụng tư bản K =16 trong 1 ngày thì sản lượng tăng thêm xấp xỉ 50 đơn vị sản phẩm. * Hàm lợi ích: U = U(x1, x2, ..., xn). Trong đó xi là số đơn vị hàng hóa thứ i ( i = 1, n ) . Đạo hàm riêng của hàm lợi ích đối với các biến độc lập là: MU i = U x i (i = 1, n) MUi được gọi là hàm lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i. Ý nghĩa: Đạo hàm riêng MUi tại điểm M o (x 1o , x o2 ,...,x on ) biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm khi người tiêu dùng có thêm một đơn vị hàng hóa thứ i trong điều kiện số đơn vị các hàng hóa khác không thay đổi. Ví dụ 3.22. Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày của một người tiêu dùng đối với 1 2 1 1 2 2 hai loại hàng hóa là U = 10x x . Trong đó: x1, x2 là mức sử dụng hàng hóa 1 và hàng hóa 2, U là lợi ích của người tiêu dùng hàng ngày. Giả sử người tiêu dùng đang sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 1 và 25 đơn vị hàng hóa 2 trong một ngày. Xác định lợi ích cận biên của các hàng hóa tại điểm đó và giải thích ý nghĩa. Giải: Lợi ích cận biên của hàng hóa 1 và hàng hóa 2 đối với người tiêu dùng tương ứng là: −1 2 1 1 2 2 1 2 1 MU1 = 5x x ; MU 2 = 5x x −1 2 2 Lợi ích cận biên của hàng hóa 1 và hàng hóa 2 đối với người tiêu dùng tại x1=64; x2=25 tương ứng là: −1 2 1 2 MU1 (64,25) = 5.64 25 = MU 2 5.5 = 3,125 ; 8 1 −1 5.8 2 (64,25) = 5.64 25 2 = = 8. 5 Nghĩa là, nếu người tiêu dùng tăng mức sử dụng hàng hóa 1 thêm một đơn vị x1 = 65 và giữ nguyên mức sử dụng hàng hóa 2 trong một ngày thì lợi ích tăng thêm khoảng 3,125 đơn vị. Tương tự, nếu giữ nguyên mức sử dụng hàng hóa 1 và tăng mức sử dụng hàng hóa 2 thêm một đơn vị trong một ngày thì lợi ích tăng thêm khoảng 8 đơn vị. 3.3.2. Đạo hàm riêng cấp hai và quy luật lợi ích cận biên giảm dần Xét mô hình hàm kinh tế hai biến số: z =f(x; y) xác định trên tập D. z 'x = f x' ( x; y) là hàm cận biên của mô hình hàm kinh tế trên theo biến x; z 'y = f y' ( x; y) là hàm cận biên của mô hình hàm kinh tế trên theo biến y; Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng: giá trị z – cận biên của biến x giảm dần khi x tăng y không đổi. Tương tự, cho giá trị z – cận biên của biến y giảm dần khi y tăng và x không đổi (Chú ý: chúng ta xét trong điều kiện giá trị của các biến x, y đủ lớn). Cơ sở toán học: ′′ ′′ z 'x = f x' ( x; y) là hàm số giảm khi 𝑧𝑥𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 (𝑥; 𝑦) < 0 với x, y đủ lớn ′′ ′′ Tượng tự: z 'y = f y' ( x; y) là hàm số giảm khi 𝑧𝑦𝑦 = 𝑓𝑦𝑦 (𝑥; 𝑦) < 0 với x, y đủ lớn Tổng quát xét hàm kinh tế nhiều biến số w = f(x1, x2, …, xn) xác định trên miền D. Hàm f tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần nếu ̅̅̅̅̅ ∀𝑖 = 1, 𝑛: 𝑓𝑥′′2 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) < 0; với x1, x2,…, xn đủ lớn 𝑖 Ví dụ 3.23. Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Cobb- Douglas như sau: Q = aK L (a, , 0) Tìm điều kiện của , để hàm số trên tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. Giải: Hàm sản phẩm cận biên của tư bản: Q 'K = aK −1L Hàm sản phẩm cận biên của lao động: Q 'L = aK L−1 Biểu hiện của quy luật lợi ích cận biên giảm dần: Q 2 = a( − 1) K − 2 L 0 1 K − 2 1 QL2 = a( − 1) K L 0 0 1 . 0 1 Vậy điều kiện là 1 3 Áp dụng cho bài toán cụ thể với hàm sản xuất Q = 100K 4 L4 . Trong đó K, L, Q là mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng ngày. Hàm này thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần. Ví dụ 3.24. Cho hàm lợi ích U = 3xy – 2x2 – y2 (x, y >0). Hàm số U có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không? Giải: Ta có U 'xx' = −4 0; U 'yy' = −2 0 mọi x, y >0 nên hàm tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. 3.3.3. Hệ số co giãn Cho hàm kinh tế: w = f(x1,x2, ..., xn) = f(M) Định nghĩa 3.10. Hệ số co giãn của w theo biến xk tại điểm M o (x 1o , x o2 ,...,x on ) là xx lượng thay đổi tính bằng phần trăm của w khi xk tăng thêm 1% trong điều kiện giá trị của các biến độc lập khác không đổi, được ký hiệu và xác định như sau: f x (M o ) = k f xk ( M 0 ) f (M 0 ) o .xk Ví dụ 3.25. Giả sử hàm cầu của hàng hóa 1 trên thị trường hai hàng hóa có liên quan có dạng: Q1d = 6300 − 2p12 − 3p 22 ; trong đó p1, p2 tương ứng là giá của hàng hóa 1, 2. Xác định hệ số co giãn của cầu hàng hóa 1 đối với giá của hàng hóa đó tại (p1; p2) Và hệ số co giãn của cầu hàng hóa 1 đối với giá của hàng hóa thứ hai p2 tại (p1; p2). Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p1, p2 và cho biết ý nghĩa tại điểm (p1, p2) =(20, 30) Giải: * Hệ số co giãn của cầu hàng hóa 1 đối với giá của hàng hóa đó tại (p1; p2): Q1 d p1 p1 − 4p12 = −4p1 = 6300 − 2p12 − 3p 22 6300 − 2p12 − 3p 22 * Hệ số co giãn của cầu hàng hóa 1 đối với giá của hàng hóa thứ hai p2 tại (p1; p2): Q1 d p2 p2 − 6p 22 = −6p 2 = 6300 − 2p12 − 3p 22 6300 − 2p12 − 3p 22 Tại điểm (20; 30) ta có: p1 = −0,57; p2 = −1,93 .